Ввести 2 строки (это я знаю как делать), найти кол-во слов (это тоже вроде умею) и
найти кол-во одинаковых слов (КАК?)

Можно использовать следующую структуру:

type
TWordCount=record
word:string;
count:integer;
end;
Var
Ms:array [1..n] of TWordCount;

Алгоритм:
Выделяем 1 слово, записываем в ms[i].word, inc(ms[i].count).
Выделяем 2 слово, если одно совпадает с каким нибудь ms[j].word, то делаем inc(ms[j].count), в противном случае делаем так же, как с первым словом.
В конце концов имеем массив записей, который считает кол-во всех слов. Если ms[i].count>1, то ms[i].word является повторяющимся словом с кол-вом повторений ms[i].count.
Может кто предложит более мощный вариант с меньшей затратой памяти, ибо я использовал ее безжалостно.

Что-то сложновато, а можно ещё раз и по пунктам?
Ну, например, вот как прописать следующее:
1)находим слова
2)записываем найденные слова в отдельные массивы (а если этих слов много, то что делать?)
3)сравниваем полученные массивы со словами
4)находим кол-во одинаковых слов
5)выводим результат (сколько одинаковых слов было найдено)

Любым способом отсюда: Разбиение на слова. Все способы. разбиваешь обе строки на слова, и потом проходишь по одному массиву (или списку, что ты там выберешь), и проверяешь, есть ли текущее слово во втором массиве (или списке). Если есть - то увеличиваешь счетчик, и переходишь к след. слову в первой последовательности...

function Count(Const s, w: String; start: Byte): Byte;
const
limits = ['.', ',', ';', '!', '?', ' '];
var
p: Byte;
begin
p:= Pos(w, Copy(s, start, 255));
if (start > length(s)) or (p = 0) then Count := 0
else if (((start + p - 2) = 0) or (s[ start + p - 2] in limits))
and (((start + p + length(w) - 2) = Length(s)) or (s[start + p + length(w) - 1] in limits))
then Count := 1 + Count(s, w, start + p + length(w) - 2) else Count := 0 + Count(s, w, start + p + length(w) - 2);
end;
begin
writeln(count('papa mama i doch mili mili papu s mamoi mama', 'mili',1));
readln;
end.

Вот программка, которая находит кол-во одинаковых слов. У меня такой вопрос: как её изменить так, чтобы:
1)можно было вводить строку не вот здесь: writeln(count('papa mama i doch mili mili papu s mamoi mama', 'mili',1)); , а во время выполнения самой программы
2)чтобы она искала не заданные слова, а искала слова сама и выводила их кол-во writeln(count('papa mama i doch mili mili papu s mamoi mama', 'mili',1));

2 требование разрушает данный тобой код. Еще раз см. сообщения номер 2 и 4. Это то, что тебе нужно.
А вводить строку во время программы просто:

Var
st:string;
Begin
   readln(st);
   writeln(count(st,1));
End.

Если этого не знаешь, то как собираешься решать задачу? Давай читай теорию.