Логарифмы, связь переменных в выражении Опции

[PON]

Найдите все пары действительных чисел (x;y), для которых справедливо равенство: log-основание 3^sqrt(x+y) от (3^sqrt(x+y) + sqrt(y*sqrt(x) + 1))
равен 2^-sqrt(x-y-2*sqrt(x)). P.S.:надеюсь поняли

[Lapp]

Так?

                Sqrt(x+y)                       -sqrt(x-y-2*sqrt(x))
log           (3         +sqrt(y*sqrt(x)+1)) = 2
   3^Sqrt(x+y)

[Гость]

Найдите все пары действительных чисел (x;y), для которых справедливо равенство: log-основание 3^sqrt(x+y) от (3^sqrt(x+y) + sqrt(y*sqrt(x) + 1))
равен 2^-sqrt(x-y-2*sqrt(x)). P.S.:надеюсь поняли

Да.Правильно.

[Lapp]

Выражение кажется таким устрашающим, что я не сразу к нему подступился - ждал, может еще кто сделает.. А как подступился, оказалось все довольно просто и почти неинтересно..

Сначала перепишем его без логарифма:

            |---------B---------|
 
             -Sqrt(x-y-2*Sqrt(x))
  Sqrt(x+y)*2                       Sqrt(x+y)
 3                               = 3         + Sqrt(y*sqrt(x)+1))

 |---A----|                        |---A----|  |------C---------|

или

  B
 A  = A + C

Я тут сделал некоторые обозначения, чтоб легче объяснять было.
Выражение А встречается и слева, и справа. Заметим, что его показатель всегда неотрицателен, что означает, что оно не меньше единицы:
А>=1
Теперь рассмотрим В. Это двойка в неположительной степени. Значит, оно положительно, но не больше единицы.
0<B<=1
По сути, это означает, что из А извлекается корень степени не меньше единицы. Иными словами,
А^B <= A ,
причем равенство соблюдается при В=1 либо при А=1.

Теперь рассмотрим правую часть. Это сумма А+С, причем С>=0. Следовательно,
А+С>=A ,
причем равенство достигается только при С=0.
Таким образом, мы получили, что левая часть может быть равна правой только при условиях:
{x-y-2*Sqrt(x) = 0
{y*sqrt(x)+1 = 0
или
{y=x-2*Sqrt(x)
{y=-1/Sqrt(x)

- выполненных одновременно (что я обозначил фиг.собками).
Кроме этого нужно наложить условия на неотрицательность всех подкоренных выражений, что в частности исключает всю полуплоскость x<0, а также все пространство ниже красной линии - но это все не очень интересно.
На рисунке первая зависимость представлена зеленой кривой, вторая - синей. Одно из решений нашей стстемы: x=1, y=-1 - о чем легко догадаться, взглянув на график, а потом убедиться, подставив. Приравнивая правые части друг другу, получаем уравнение относительно х. Избавляемся от корня заменой z=Sqrt(x) и делим получившееся кубическое уравнение на (х-1), так как х=1 - корень. Получаем квадратное уравнение, имеющее два корня, один из которых отрицательный (отбрасываем, т.к. z существенно неотрицательно), а другое равно
z=0.5+Sqrt(1.25)
Таким образом, второе пересечение зеленой и синей кривой происходит при
x=Sqrt(0.5+Sqrt(1.25))
Соответственно,
y=-1/Sqrt(0.5+Sqrt(1.25))

Решение задачи - две бирюзовые точки (только не смотрите на координаты второй точки на графике, кривые я рисовал абы как..).
Уффф...

PS
Disclaimer: За арифметику не отвечаю!

[pon]

Большое спасибо за решение, понравилось!