Площадь фигуры,образованная окружностями. Опции

[Vardes]

Рассматриваются n лучей,проведённых в плоскости из точки О.Углы между соседними лучами равны 2pi/n.На лучах выбраны точки A1,А2..An и из этих точек как из центров проведены окружности,проходящие через точку O.Необходимо вычислить площадь фигуры,образованную всеми окружностями.
В этом как раз вся и проблема.
Все идеи свои я исчерпал.Если у вас есть свои размышления,прошу напишите их.

Вот рисунок:

М

Сообщения объеденены ... а на следюющий раз знай, что есть кнопака "правка" klem4

[klem4]

.Необходимо вычислить площадь фигуры,образованную всеми окружностями.

А можешь показать где такое есть на твоем рисунке ? Я например не вижу пересечения левой окружности и правой или верхней с нижней ... да и вообще помойму данных маловато для решения...

[volvo]

To: klem4
А кто тебе сказал "площадь, образованную пересечением всех окружностей"? Найти нужно:

площадь фигуры, образованную всеми окружностями.

, а это не одно и то же. Нужна площадь самой фигуры, образованной окружностями...

[klem4]

Так точно, теперь вижу ... прошу прощения за невнимателность.

[Vardes]

Ну вот в принципе площадь чего надо найти:

[volvo]

По-моему, классическая задача для метода Монте-Карло...

[Vardes]

А можно как-то этот метод Монте-Карло пояснить?

[volvo]

Можно... Допустим, у тебя есть прямоугольник, в который полностью помещается твоя фигура, и ты точно знаешь его площадь. Тогда ты генерируешь большое количество случайных точек (чем больше точек - тем точнее результат), точно находящихся внутри прямоугольника, и проверяешь, сколько из них попадают в твою фигуру (зная координаты центров всех окружностей и их радиусы, несложно вычислить, попадает ли заданная точка в фигуру)...

Естественно, что чем больше точек попадут внутрь твоей фигуры, тем ее площадь больше А саму площадь вычисляешь так:

S фигуры = S прямоугольника * ({Число попаданий} / {Общее число сгенерированных точек})

(бери число испытаний в районе 500 тыс - 1 млн, и в течении 5-7 секунд получай ответ...)

[Vardes]

Тогда у меня возникают такие вопросы,как же мне задать мой прямоугольник,ведь количество лучей у меня не ограничено,и может доходить до 10,15 и т.д.
И ещё,бывет так,что окружности накладывается др. на др.,следовательно точка попадёт и в ту и в др. окружность.

[volvo]

как же мне задать мой прямоугольник, ведь количество лучей у меня не ограничено, и может доходить до 10,15 и т.д.

это совершенно безразлично... В любом случае ты ВСЕГДА можешь вычислить самую верхнюю/нижнюю и левую/правую точки фигуры... По ним и строй прямоугольник...

И ещё,бывет так,что окружности накладывается др. на др.,следовательно точка попадёт и в ту и в др. окружность.

Нет. Как только точка попала в какую-то окружность, вся дальнейшая работа с этой точкой прекращается, ведь она УЖЕ внутри фигуры, и ты переходишь к следующей точке...

Вот тебе пример (по твоему же рисунку), как выбрать прямоугольник...

[Vardes]

Тогда получается,что мне надо вводить оси координат,если речь уже заходит о координатах,а как я могу их воодить,если все точки имеют положительное значение.

[volvo]

To: Vardes
Ну вот скажи мне, что именно тебе не понятно? Какие точки имеют положительное значение? Ты что, не умеешь генерировать отрицательные случайные числа? Кто тебе запрещает их генерировать?

Это первое. А второе, я не говорю о глобальных координатах. Ты вполне можешь принять свою систему координат, в которой точка пересечения осей будет не (0, 0) а, скажем, (100, 100)... Это ничего не меняет. Если ВЕСЬ график начерчен в одной системе координат, результат будет правильным...

Кстати, программа, вычисляющая площадь твоей фигуры (вместе с графическим представлением) занимает меньше 150 строк...

[Vardes]

Ну вот введу я систему координат,мне необходимо чтобы все лучи выходили из одной точки(это ладно),но и углы между лучами должны быть равными.И ещё,мой препод будет вводить только радиусы этих окружностей(2,3,4 и т.д) и всё,а не координаты центров окружностей.
И генерировать числа я пока тоже не умею,т.к. опыта у меня немного.Ещё пробовал решать эту задачу через центральный угол,найдя его можно пощитать площадь кругового сектора.Рассчитав площадди всех секторов,можно найти площадь и всей фигуры.Вот.
Но тут есть загвоздка,дело в том,что если окружностей много,то происходит большое количество наложений,чуть ли одна не вписывается в др.,поэтому условия все предусмотреть очень сложно.

[volvo]

To: Vardes
Полярную систему координат еще никто не отменял Там как раз очень просто реализовать то, что ВСЕ лучи выходят их одной точки (r = 0), и углы между лучами равны: (Phi изменяется с шагом 360 div n, где n - количество лучей)...

Для того, чтобы узнать координаты центра окружности в полярной СК достаточно на соответствующем луче поставить точку, для которой удаление от центра координат r = {нужный тебе радиус}...

А уже потом, когда у тебя есть все координаты в полярной CK, переводишь их в декартову и делаешь то, что я тебе написал в посте №8.

Кстати, для генерации случайного числа X в интервале -100 .. 100 достаточно сделать

X := Random(201) - 100;

[Vardes]

Значит я так понимаю,что радиусы окружности и лучи можно задать таким образом.Где L-это полярная ось,P-центр окружности,и углы.
Вот рисунок:

[Vardes]

А декартовы координаты тогда можно будет выразить так:x=p*cos угла 360/n;
y=p*sin угла 360/n.

[volvo]

Правильно понимаешь... Еще какие-то затруднения?

[Vardes]

Да,необходимо определить принадлежит ли точка к плоскости какой-то из наших окружностей,чтобы её нам запомнить и разделить потом на общее количество таких точек.
Ещё хотел по-больше узнать о генерации случайного числа x и y:нам надо брать те границы чисел,которыми у нас ограничен прямоугольник.НАпример он у нас ограничен следущими координатами 4 точек6,0);(-5,0);(0,4);(0,-7),как тогда нам сгенерировать числа по x и y.

[Vardes]

Да,необходимо определить принадлежит ли точка к плоскости какой-то из наших окружностей,чтобы её нам запомнить и разделить потом на общее количество таких точек.

Есть такая идея проверять ту или иную точку,образует ли она радиус вписанной окружности в нашу(конечно же,центр у них должен быть одинаковым)если образует,то мы её запоминаем.

[volvo]

To: Vardes
Ты что, издеваешься? Геометрию учил? У тебя есть координаты центра каждой окружности, так? Их радиусы тоже есть, так? Допустим, сгенерировал точку с координатами (point_x, point_y). Дальше - вот так:

i := 1; found := false;
while (i <= n) and not found do begin
  if sqrt(sqr(x[i] - point_x) + sqr(y[i] - point_y)) < radius[i] then found := true;
  inc(i)
end;
{
  если found = true, точка (point_x, point_y) находится
  внутри хотя бы одной окружности, иначе - не попадает ни в одну
}

вот и все...