Метод Гаусса, Проблемка с решением этим методом Опции

[Relrin]

Сейчас сижу пишу программку, которая вычисляет СЛАУ методом Гаусса. Сейчас возникло несколько вопросов и проблем, на которые нужен ответ :
1) Где нужно исправить переменные в процедуре Gauss, чтобы она могла решить не только случаи, когда количество переменных равно количеству уравнений, но и случай, когда количество переменных меньше кол-ва уравнений. Например:
x1 + x2 + x3 = 3
2x1 +3x2 +2x3= 7
3x1 + x2 + x3 = 5
5x1 - x2 - x3 = 3
2) Необходимость помочь раскомментировать процедуру Gauss(взял с этого форума процедуру, как и ввод/вывод), поскольку не очень понимаю ход решения (хотя, очень похоже на решение "обратным ходом"). Поэтому хочется, чтобы помогли разобраться с этим кодом

Поскольку код получился чуть более чем на 400 строк, то приложу исходник.

Сообщение отредактировано: Relrin - 24.02.2011 10:24

[TarasBer]

> но и случай, когда количество переменных меньше кол-ва уравнений

В общем случае решения нет. Тебе это точно надо?

[Relrin]

Да, конечно.
Пример, был взят из книги по вышке. Решение того примера, что я написал выше будут:
x1=1
x2=1
x3=1

[Lapp]

Где нужно исправить переменные в процедуре Gauss, чтобы она могла решить не только случаи, когда количество переменных равно количеству уравнений, но и случай, когда количество переменных меньше кол-ва уравнений.

Из полной системы скомбинируй несколько таких, в которых кол-во уравнений равно числу неизвестных. Например, из 4 ур. с 3 неизв. получится 4 системы:
{1,2,3}
{2,3,4}
{1,3,4}
{1,2,4}
(цифры означают номера уравнений, в общем случае будет Cⁿ_k систем)
Затем реши каждую из них и возьми пересечение ответов (то есть множеств точек в многогомерных пространствах) к каждой. Это и будет ответ к полной системе.

[TarasBer]

> Затем реши каждую из них

Это ужасно.

Итак, есть система:

x1 + x2 + x3 = 3
2x1 +3x2 +2x3= 7
3x1 + x2 + x3 = 5
5x1 - x2 - x3 = 3

Её соответствует такая расширенная матрица:

Код

1  1  1 | 3
2  3  2 | 7
3  1  1 | 5
5 -1 -1 | 3

Для того, чтобы система имела решение, надо, чтобы ранг этой матрицы (n+1 на m) был равен n.
Как считать ранг матрицы?

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

То есть решает методом Гаусса (это ведь оно приводит к трапициевидной форме?), и надо, чтобы все строки после n-ой были нулевыми.

Например, данная матрица после приведения к трапециевидному виду становится такой:

Код

1 1  1 |  3
0 1  0 |  1
0 0 -2 | -2
0 0  0 |  0

Сразу виден ранг.

Сообщение отредактировано: TarasBer - 24.02.2011 13:22