Аналитическая геометрия, касательная к окружности Опции

[SoD]

Здраствуйте!

Задача:Точка М1(x1, y1) лежит на окружности (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М1.

P.S. Знаю что задача легкая и можно решить в одно действие(просто подставить):
( х1 – х0 ) ( х – х0 ) + ( у1 – у 0 ) ( у – у 0 ) = R^2
-формула касательной, где x0,y0-центр окружности, a x1,x1-точка касания.

Но мне эту формулу не давали и сказали, что с помощью этой формулы можно решить задачу,только если выведу ее.

Вопрос: Помогите решить задачу или просто напишите как вывести формулу касательной.
Заранее,спасибо.

Сообщение отредактировано: SoD - 5.06.2009 12:50

[sheka]

+y(x-b)^2=

насколько я знаю, это не окружность.
исправь пожалуйста.

[SoD]

насколько я знаю, это не окружность.
исправь пожалуйста.

извиняюсь ошибся

[sheka]

я только что накидал на листике...
не сошлось, но похоже на правду(скорее всего ошибся в расчетах).
я думаю так:
касательную можна провести по 2 точкам. одна есть. нужна вторая.
провести прямую || оси х до пересечения с касательной.
рассмотреть прямоугольный треугольник образованный касательной, радиусом и данной прямой.
его высота = корень из произведения проэкций катетов на гипотенузу.
а дальше подставить в уравнение прямой по 2 точкам.

Сообщение отредактировано: sheka - 5.06.2009 13:23

[SoD]

я только что накидал на листике...
не сошлось, но похоже на правду(скорее всего ошибся в расчетах).
я думаю так:
касательную можна провести по 2 точкам. одна есть. нужна вторая.
провести прямую || оси х до пересечения с касательной.
рассмотреть прямоугольный треугольник образованный касательной, радиусом и данной прямой.
его высота = корень из произведения проэкций катетов на гипотенузу.
а дальше подставить в уравнение прямой по 2 точкам.

ну на самом деле я пробовал несколькими способами,например:
1)поставить 2 точку и решать уже относительно 2 точек касательной.
2)через угловой коэфициэнт все сокращается и получается уравнение касательной y=y1
3)а через эту формулу ответ такой как в учебнике=/

[sheka]

то есть правильно?

[SoD]

Ты понимаешь,тут такое дело, что ответ через эту формулу правильный, но я не могу ее использовать пока не выведу=/.А как выводиить я не знаю( в том то и проблема

[sheka]

А как выводиить я не знаю( в том то и проблема

я же тебе написал как!!!
уже даже проверил - все сошлось - тебе что, фотографию выложить?!

[SoD]

я же тебе написал как!!!
уже даже проверил - все сошлось - тебе что, фотографию выложить?!

пожалуй да,пожалуйста)а то я не въезжаю)

[Lapp]

SoD, если ты действительно изучаешь аналитическую геометрию, то вот тебе доказательство:

(х₁ – х₀) (х – х₀) + (у₁ – у₀) (у – у₀ ) = R²

Добавляем во вторую скобку x₁ - x₁, а в четвертую y₁ - y₁ и группируем:
(х₁ – х₀) ((х – x₁) + (x₁ - х₀)) + (у₁ – у₀) ((у – y₁) + (y₁ - у₀)) = R²

Перемножаем скобки:
(х₁ – х₀) (х – x₁) +( x₁ - х₀ )² + (у₁ – у₀) (у – y₁) + (у₁ – у₀)² = R²

По теореме Пифагора сумма второго и четвертого слагаемых равна R². Следовательно имеем:
(х₁ – х₀) (х – x₁) + (у₁ – у₀) (у – y₁) = 0

Слева стоит скалярное произведение вектора из центра в точку касания (x1,y2) и вектора из точки касания в произвольную точку. Поскольку оно равно нулю, то вектора перпендикулярны. А из школьной геометрии известно, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Ч.Т.Д.

[SoD]

О, спасибо огромное мне это очень помогло.

P.S. Если бы я не изучал аналитическую геометрию я бы не просил решить задачку)

[Lapp]

Кстати сказать, можно непосредственно последнее равенство в доказательстве использовать для уравнения прямой

(х₁ – х₀) (х – x₁) + (у₁ – у₀) (у – y₁) = 0