задача на кратность(деление), требуется скорая помощь)) Опции

[улЫбастик]

необходимо доказать, опщем, что выражение ab(a*a+b*b)(a*a-b*b) кратно 5.

[a*a есть вторая степень числа a]

идея, мне кажется, заключается в преобразовании данного выражения в произведение
пяти последовательных чисел (типа (а-2)(а-1)(а+1)(а+2) ), что, как известно, всегда кратно 5.

а как сию хитростть провернуть хотелось бы услышать от Вас)

Сообщение отредактировано: улЫбастик - 21.10.2007 21:03

[Malice]

Я не математик, так что не ржать

Спойлер (Показать/Скрыть)

ab(a^2+b^2)(a^2-b^2)= a^5*b-b^5*a
Учитывая, что нас интересует только последний разряд, отбросим старшие, пусть a,b=[0..9].
Учитывая, что a^5=x*10+a, заменим a^5 на a, b^5 на b.
В итоге:
a*b-b*a=0
т.е. послений разряд будет = 0

[улЫбастик]

Malice, все гениальное - просто, - и это - яркий тому пример)) но не сочти за трудность обьяснить:
>> пусть a,b=[0..9]
>>a^5=x*10+a

[Tan]

Обычно такого типа задания безотказно доказываются методом мат индукции.

[Malice]

>> пусть a,b=[0..9]

Исследуем разрядность, значит старшие разряды не интересуют.

>>a^5=x*10+a

Как то так получилось, что число в пятой степени заканчивается на ту же цифру, т.е. :
a^5=(a^5 div 10) *10 +a,
(a^5 div 10) заменил на Х и отбросил дальше, как не влияющее на младший разряд.

[Jupiter]

ab(a*a+b*b)(a*a-b*b)=ab(a^4-b^4)=b*a^5-a*b^5
Теперь будем рассуждать так:
Последняя цифра натурального числа от 1 до 9, равна последней цифре его пятой степени (легко проверяется перебором);
Тогда, пусть последняя цифра числа a равна x, а числа b равна y. Значит последняя цифра числа b*a^5-a*b^5 будет равна последней цифре числа y*x^5-x*y^5 или числа y*x-x*y или 0. Очевидно, что число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 5. Ч. т. д.

[улЫбастик]

если кому интерестно, вот решение:

число а можно представить в виде:

1. a=5k
(если делится на 5 без остатка)

2. а=5k+1

(при делении на 5 остаток 1)

3. а=5к+2

(остаток 2)

4. а=5к+3 тоже, что и а=5к-1

(остаток 3)

5. а=5к+2 тоже, что и а=5к-2

Подставив в формулу по очереди, увидим что в любом случае число кратное 5.