Логические операции Опции

[18192123]

Ведено 5 логических операций (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция).
Можно обойтись 3-мя, выразив 2 другие через 3 выбранных, используя имеющиеся формулы равносильностей(см. прикрепленные файлы).

Мне нужно выбрать 4 такие тройки и доказать или опровергнуть требуемое.

Что-то я не представляю, как можно выразить...

Сообщение отредактировано: 18192123 - 7.04.2007 18:15

[мисс_граффити]

тебе сам вывод нужен?
нам на матлогике некоторые готовые формулы давали. если будет полезно - отсканю.

[Tan]

Мисс_граффити будьте добры отсканить я тоже нуждаюсь в формулах.

[мисс_граффити]

Сорри за дезинформацию.
Они практически все уже здесь есть.
Последние 2 формулы с первой картинки - и первая тройка готова

[КМА]

Вначале выведем несколько равносильностей они нам пригодяться.

Коньюнкция через отрицание(*А) и дизъюнкцию (+).
Из формулы *(А+В)=*А*В получаем АB=*(*A+*B)=**A**B=AB (1)

Дизюнкция через коньюнкцию и отрицание.
Из формулы *(AB)=*A+*B получаем А+В=*(*А*В)=**А+**В=А+В (2)

Дизъюнкция через отрицание и импликацию.
Из формулы А=>B=*A+B получаем A+B=*А=>B=**A+B=A+B (3)


Дано: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание. [I]
Доказательство: По А=>B=*A+B, далее А<=>B=(A=>B)(B=>A)

Далее задачи будет необходимо и достаточно свести к заданному набору [I]. Ведь если мы доказали, что данную операцию можно заменить, то значит мы можем ей пользоваться (ввиду того, что она всегда может быть раскрыта через основные 3).

Дано: равносильность, импликация, отрицание.
Доказательство: На первом шаге задаем по формуле (3) получаем дизъюнкцию, далее по формуле (1) выводим конъюнкцию.

Дано: дизъюнкция, импликация, отрицание.
Доказательство: На первом шаге пользуемся (1) получаем конъюнкцию, далее по набору [I]

Дано: дизюнкция, равносильность, отрицание.
Доказательство: На первом шаге пользуемся (1) получаем конъюнкцию, далее по набору [I]

Дано: конъюнкция, равносильность, отрицание.
Доказательство: На первом шаге пользуемся (2) получаем дизъюнкцию, далее по набору [I].

Дано: конъюнкция, импликация, отрицание.
Доказательство: На первом шаге пользуемся (2) получаем дизъюнкцию, далее по набору [I].

Т. е. Все четыре элемента (дизъюнкция, конъюнкция, равносильность и импликация) "взаимо заменяемые", в дальнейшем, при изучении мат логики вы это увидите.

По поводу отрицания, могу лишь сказать, что выразить его через какие-либо выражения в принципе не реально (т. к. это унарная операция, а все остальные бинарные). Доказать это просто. Т. к. у нас нет отрицания, то надо рассмотреть всего четыре операции.

А+А=А
АА=А
А=>А=1
A<=>A=1

Далее пользуясь представлениями последних двух равносильностей, видно, что
А+1=1
А1=А,
что возможность "обратить" не имеет смысла, т. к. при импликации и равносильности А принимает тождественное истинное значение, а конюкция и дизъюнкция принимает равносильные значения. Т. е. как бы выражение А не было сложно задано, мы всегда приходим к значению А или тождественно 1, что естественно не верно.

Поэтому все комбинации без отрицания не смогут выразить другие.

[18192123]

Поэтому все комбинации без отрицания не смогут выразить другие.

Спасибо за помощь!