Система уравнений с тремя неизвестными Опции

[18192123]

x1 + 2*x2 + 4*x3 = 3*x4
3*x1 + 5*x2 + 6*x3 = 4*x4
4*x1 + 5*x2 - 2*x3 = -3*x4



Предполагается, что х4 - любое число (свободное неизвестное, может быть задано самостоятельно), требуется через него выразить остальные неизвестные.

как только я не крутила, никакого вразумительного решения не нашла!

Помогите разобраться!

[мисс_граффити]

а чего тут крутить?
определитель равен 0...

[what is]

А если попробовать методом Жордана-Гаусса решить( как матрицу)?
Тогда наверное получится, что х1,х2 и х3 выражаются через х4....

Сообщение отредактировано: what is - 13.01.2007 17:16

[Jekaterina]

А я попробовала решать по-школьному:
x1=3x4-2x2-4x3 (из первого ур-ния)
Подставляя во второе и третье уравнения, получим в итоге систему с из двух уравнений с тремя неизвестными:
-x2-6x3=-5x4
-3x2-10x3=-15x4
Складывая уравнения (предварительно умножив первое из них на -3), получим x3=0. Затем подставив вместо x3 0 в исходную систему, сможем получить, что x2=5x4, x1=-7x4

[18192123]

-3x2-10x3=-15x4

а почему у тебя -10x3, у меня получается -18x3....

Сообщение отредактировано: 18192123 - 13.01.2007 21:39

[мисс_граффити]

Теорему о единственном решении никто не отменял: необходимым и достаточным условием является неравенство нулю определителя.
В общем, некуда время девать - перепробуйте все методы...

[18192123]

Теорему о единственном решении никто не отменял: необходимым и достаточным условием является неравенство нулю определителя.
В общем, некуда время девать - перепробуйте все методы...

Изначальное задание было такое: найти фундаментальную систему решений и общее решение системы
x1 + 2*x2 + 4*x3 - 3*x4 = 0
3*x1 + 5*x2 + 6*x3 - 4*x4 = 0
4*x1 + 5*x2 - 2*x3 + 3*x4 = 0
3*x1 + 8*x2 + 24*x3 - 19*x4 = 0

ранг матрицы коэффициентов и расширенной матрицы равен 3, система совместна, составляю минор третьего порядка с тремя базисными неизвестными, свободноные неизвестные переношу в лево, получаю укороченную систему, в которой мне нужно через свободное неизвестное x4 выразить остальные базисные.

x1 + 2*x2 + 4*x3 = 3*x4
3*x1 + 5*x2 + 6*x3 = 4*x4
4*x1 + 5*x2 - 2*x3 = -3*x4



Я понимаю, что определитель равен 0, но в задачнике всё же есть ответ
c1E1 + c2E2, E1 = (8, -6, 1, 0), E2 = (-7, 5 , 0, 1)

Сообщение отредактировано: 18192123 - 13.01.2007 22:22

[мисс_граффити]

не то неизвестное сделала свободным.
попробуй другие - но так, чтобы определитель оставшейся матрицы не был равен нулю.
попробуй выразить через х1, х2, х3...

[Jekaterina]

Действительно ошибка. Сейчас перерешаю

[Jekaterina]

1 2 4 3-->1 2 4 3--> 1 2 4 3---->1 0 -8 -7, т.е. x1-8x3=-7x4 x2+6x3=5x4
3 5 6 4 0-1-6-5 0-1-6-5 0 1 6 5
4 5-2-3 0-3-18-15 0 0 0 0

x1=8x3-7x4
x2=5x4-6x3

x3=c1; x4=c2
Ответ: (x1,x2,x3,x4)=(8c1-7c2; -6c1+5c2; c1; c2)=(8c1; -6c1; c1; 0)+(-7c2; 5c2; 0; c2)=c1(8; -6;1;0) +c2(-7; 5; 0;1)
Вот, по-моему так. тобы было понятно, как преобразовывала, перепишу заново:

1 2 4 3
3 5 6 4
4 5 -2 -3

Далее

1 2 4 3
0 -1 -6 -5
0 -3- 18 -15
далее

1 0 -8 -7
0 1 6 5
0 0 0 0
Так понятнее...Теперь принимаем е1=(8;-6;1;0) и е2=(-7;5;0;1). Все, кажется, получилось.

Сообщение отредактировано: Jekaterina - 14.01.2007 1:59