пределы, 2 предела Опции

[-Екатерина-]

1. доказать что lim arctgx=п/2
x->+00
надо через опредление доказывать: найти такое b, что при x>b следует [arctgx-п/2]<E
[] это модуль такой

2. lim ((1+x*2^x)\(1+x*3^x))^(1/x^2)
вся дробь в степени 1/x^2
через какой замечательный предел и какие преобразования сделать?

заранее спасибо!

[red_alex]

а во втором x к чему стремится?

[-Екатерина-]

ой, к 0

[red_alex]

lim ((1+x*2^x)\(1+x*3^x))^(1/x^2) = lim e^ [ln((1+x*2^x)\(1+x*3^x)) \x^2]

ln((1+x*2^x)\(1+x*3^x)) =ln(1+x*2^x)-ln(1+x*3^x))~x*2^x - x*3^x

e^ [ln((1+x*2^x)\(1+x*3^x)) \x^2] = e^[(2^x- 3^x)\x]
ну тут у вас поле для для действий широкое=)можете применить ПЛ и получить, что предел равен 2\3

[-Екатерина-]

спасибо огромное!!
именно так))

[red_alex]

а то что предел в номере 1 равен пи\2 вроде следует из св-в обратных тригонометрических функций

Вы ведь знаете , что при x->pi\2 lim tgx= lim six\cox = lim 1\cosx = 00

далее смотрите св-ва обратных функций

Сообщение отредактировано: red_alex - 3.12.2006 13:02

[red_alex]

ксати,так как я не являюь сторонником ПЛ, то рекомендую запомнить кроме 2 замечательных пределов еще такие:
lim(a^x -1 )\x= lna
lim ln(1+x)\x =1

Тогда, второй номер, когда мы дошли до стадии e^[(2^x- 3^x)\x]
решался бы так:

lim e^[(2^x- 3^x)\x]=lim e^[3^x((2\3)^x - 1)\x] = e^lim [3^x((2\3)^x - 1)\x]={т.к lim 3^x = 1}=e^ln2\3= 2\3

[-Екатерина-]

Спасибо всем огромное за помощь!!