Интерполяционный многочлен Лагранжа Опции

[Dark_san]

Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Помогите разобраться, что это есть такое из себя ? В гугл не посылать, лазила- не поняла

[Lapp]

Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Помогите разобраться, что это есть такое из себя ? В гугл не посылать, лазила- не поняла

Гм.
А ты знаешь, что такое просто многочлен (полином)? Надеюсь, да. Ну, вот он и есть ИМЛ (интерполяционный многочлен Лагранжа).

Как выглядят полиномы в порядке возрастания степени?
степень 0 - прямая, параллельная Х
степень 1 - произвольная прямая
степень 2 - квадратная парабола
степень 3 - кубическая парабола
и т.д. ...

Теперь допустим, у тебя отмечены некоторые точки (X_i,Y_i) на координатной плоскости.

Если точка только одна - через нее можно провести ровно один полином нулевой степни (т.е. прямую, параллельную оси Х). Многочленов более высоких степеней (1-й, 2-й ...) через эту одну точку можно провести много (бесконечное количество). Так что мы будем говорить, что одна точка определяет (ровно один) полином 0-ой степени. Вот он (то есть эта самая прямая, параллельная оси Х) и есть ИПЛ этой точки.

Если точек тебе дано две, то одну прямую, параллельную Х, через них уже не проведешь (если, конечно, у них не совпадают координаты по Y, но это вырожденный случай, не будем пока о нем). Зато можно провести одну прямую с некоторым ненулевым наклоном (то есть многочлен первой степени). Многочленов более высоких степеней (2-й, 3-й ...) снова можно провести бесконечно много. Все это дает нам право говорить, что две точки на плоскости определяют (ровно один) полином 1-й степени. Вот именно эта прямая, проведенная через эти две точки, и есть как раз ИМЛ для этих двух точек. Коэффициенты этого многочлена находятся из двух уравнений, получающихся приравниванием выражения для полинома в данных значениях Х₁ и Х₂ к данным значениям Y₁ и Y₂:

Y₁ = a * X₁ + b
Y₂ = a * X₂ + b

- тут значения X и Y с индексами известны (это координаты данных точек), a и b - неизвестные величины. Это есть линейная система уравнений, она решается. Найденные a и b определят нам наш искомый ИМЛ.

Если точек тебе дано три, то история снова повторяется, но с показателями степени на 1 больше. Через 3 точки прямая в общем случае уже не проводится, но зато можно провести ровно одну квадратную параболу. Именно эта парабола и есть ИМЛ для этих трех точек. Чтобы найти его коэффициенты, нужно составить линейную систему из трех уравнений и решить ее.

И такая ситуация наблюдается для любого конкретного количества точек. Если точек нам дано N, то они определяют один полином (N-1)-вой степени, который и есть ИМЛ для этих точек. Чтобы найти его коэффициенты, нужно составить линейную систему из N уравнений и решить ее.
Понятно?

ИМЛ - не очень хорошая идея для интерполяции, на самом деле. Он абсолютно точно воспроизводит значения функции в заданных точках, но зато в остальных точках он, как правило, отклоняется от реальных значений очень сильно. Причем, чем выше степень (то есть, чем больше количество точек), тем ситуация хуже. Это как бы есть расплата за чрезмерную (и абсолютно ненужную в данном случае) точность в отдельных точках.

Интерполяция - это когда у нас есть ограниченный набор данных о какой-то функции, и мы хотим воспроизвести саму функцию по этим данным. Обычная ситуация такова: есть экспериментальные данные о какой-то зависимости (зависимость температуры тела от времени при болезни, прибыли от вложений в бизнес, успеваемости от нагрузки..), которые нанесены в виде точек на координатную плоскость. Если у нас всего две точки - вполне естественно провести прямую через них и сказать, что это и есть наша искомая функция, рассчитанная на основании данной информации - тут особо не возразишь, разве что добавить, что эту прямую следует следует расширить до полосы с шириной, равной точности измерений. Но если точек с десяток или больше - все гораздо хуже. Полином будет похож на гребенку, и даже малые вариации (неточности) в экспериментальных данных (в координатах точек) будут приводить к полной смене картины. Поэтому на практике ИМЛ в чистом виде никто не использует для интерполяции..

В качестве лирического отступления: это есть некий аналог знаменитого "принципа (соотношения) неопределенности Гайзеберга". Он гласит: чем точнее нам известно положение частицы, тем менее точно мы знаем ее скорость (и наоборот). Тут его можно перефразировать так: чем точнее мы аппроксимируем функцию полиномом в данных точках (точное положение), тем хуже аппроксимация между точками (а это значит - производная, то есть скорость). Аналогия, конечно, не полная, но довольно показательная. Но это все тебе вряд ли нужно .

Стало понятнее? Задавай вопросы, если не все ясно.

[Dark_san]

Да спасибо, теперь програмулину писать нужно.. сижу мучаюсь )

[Lapp]

Dark_san, я, кажется, понял, что такое ИМЛ . Прости за тормознутость.. Задавай свои вопросы )).

[Лап]

а как написать полином Лагранжа на Паскале?