Признаки четности, в любой системе счисления Опции

[Lapp]

Это короткое изыскание относится к вот этой теме. Там вопрос стоит о частном случае, но поскольку рассуждение легко обобщается, то я это сделал.

Итак, вопрос о четности (то есть о делимости на 2) числа легко решается в десятичной системе - если последняя цифра четная, то четное и все число. Вообще, это утверждение верно для всех систем счисления с четным основанием, и это легко видеть.
Рассмотрим общую форму числа:
<an><a(n-1)>...<a3><a2><a1><a0>
Каждое выражение в угловых скобках - цифра, каждая цифра имеет индекс, соответствующий ее позиции. Числа и выражения в круглых скобках - индексы (нормальные подстрочные индексы тут использовать затруднительно). Тут все цифры записаны одна за другой справа налево, как это принято.
Тогда само число можно записать так:
b^n*an + b^(n-1)*a(n-1) + ... + b^3*a3 + b^2*a2 + b*a1 +a0
Поскольку все слагаемые, кроме нулевого, имеют сомножителем b^i, а b предполагается четным, то все они четные. Четность всей суммы определяется последним слагаемым, a0. Если оно четное - число четное, если нет - то нет. Таким образом, число в системе с четным основанием четно тогда и только тогда, когда последняя его цифра четная
Случай с нечетным b несколько сложнее.
Степень основания во всех слагаемых - нечетная. Запишем ее (для каждого слагаемого) как сумму числа, меньшего на единицу и единицы.
b^i = (b^i - 1) + 1=ci + 1
Очевидно, что все ci четны.
После подстановки в основную формулу раскроем скобки и соберем все члены с ci. Их сумма четная. Оставшиеся слагаемые представляют собой простую сумму ai
an + a(n-1 + ... + a3 + a2 + a1 + a0
Четность всей суммы (то есть нашего числа) напрямую зависит от четности этой суммы ai. То есть, число, записанное в системе с нечетным основанием четно тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр четна

Вот и все. Спасибо за внимание