задача по стереометрии, шарики в цилиндре Опции

[мисс_граффити]

Доброго времени суток.
Наткнулась сегодня на задачку (школьную, 10 класс, стереометрия) - и зависла. Мысли кое-какие есть, но ни во что толковое не оформляются.

В цилиндре, у которого высота равна диаметру основания и равна 1, надо разместить три одинаковых шара. Каков их наибольший радиус?

Может, кого еще заинтересует...

[Unconnected]

1/6? Мне кажется, что векторная сумма всех радиусов должна быть равна высоте..

Добавлено через 7 мин.
Или не должна..

Сообщение отредактировано: Unconnected - 13.10.2010 20:30

[мисс_граффити]

Unconnected, к сожалению, не знаю правильный ответ...

Пока вот есть идея, что в сечении (перпендикулярном основанию, т.е. в квадрате) центры окружностей должны образовывать равносторонний треугольник... т.е. два шарика кладем на дно, а один - между ними.
Тогда влезают с радиусом 1/4.
Но совершенно не уверена, что это - оптимально.

нагуглила:

Как плотнее всего уложить в пространстве одинаковые шары? В решении этой задачи достигнуты большие успехи, особенно для 24-мерного пространства.

боюсь представить человека, посвятившего жизнь размещению шариков в 24х мерном пространстве...

Сообщение отредактировано: мисс_граффити - 13.10.2010 21:15

[TarasBer]

1/4 это неоптимально.
На плоскости решение такое:
короче, те да шара ровно по диагонали друг от друга
В пространстве так тоже можно.
Думаю, надо нарисовать сечение плоскостью центров, может, это поможет.

[мисс_граффити]

TarasBer, согласна...
получилось у меня 1/(2*sqrt(3))

[TarasBer]

r=(2+(sqrt(7)+sqrt(3))/2)^-1

Это я уже для пространства. Для плоскости - (2+(sqrt(2)+sqrt(6))/2)^-1

Не, для пространства это лажа, потому что даже меньше выходит.

Короче, новый ответ, я его пока не смог привести к нормальному виду, спать хочу.

m0 := (sqrt(21)-1)/4 = 0.89564392373896000
m1 := m0+1 = 1.89564392373896000
m2 := sqrt(1-sqr(m0)) = 0.44477180876206621
m3 := sqrt(sqr(m1)+sqr(m2)+1) = 2.18890105931673394
m4 := sqrt(sqr(2*m2)+sqr(2)) = 2.18890105931673394 (это для проверки)
m5 := m3/(m3+2)/2 = 0.26127390314558696 - ответ.

m6 := (2+sqrt(2)+sqrt(6))/2)**-1 = 0.25433309503024982 - это на плоскости, для сравнения.

А, всё, я просто там немного слажал пересчитал по 1 способу, вышло
1/(2+2*(sqrt(7)-sqrt(3))) - это и есть 0.2612...

Сообщение отредактировано: TarasBer - 13.10.2010 23:21

[Lapp]

Ребят, я вами восхищаюсь, кроме шуток. Столько циферок... я б ниасилел.
А кто-нибудь может пояснить идею? ну, рассуждения, какие ни на есть...
а?
чесссссно признаюсь, меня пока нечего такого гениального не озарило.. Некоторые соображения по поводу симметрии, не более того.

[мисс_граффити]

TarasBer, почему? у меня на плоскости 2.89 примерно влезло...

[Lapp]

TarasBer, почему? у меня на плоскости 2.89 примерно влезло...

А ты кияночкой - легонечко, по краешку..

сдаюсь..

[TarasBer]

> у меня на плоскости 2.89 примерно влезло...

В квадрат со стороной один?

r*(1+1+1/sqrt(2)+sqrt(3)/sqrt(2))=1
r*(2+(sqrt(2)+sqrt(6))/2)=1
r = (2+(sqrt(2)+sqrt(6))/2)**-1



А в пространстве мысль такая.
Если в цилиндре с высотой 2 и радиусом 1 удастся расположить 3 точки так, чтобы расстояния между ними были 2R, то, обрастив эти точки мясом, получим в цилиндре высотой 2*(1+R) и радиусом (1+R) три шара радиусом R, или, после масштабирования, в цилиндре высотой и диаметром 1 три шара радиуса R/(1+R)/2
А эти три точки я решил брать так. Понятно, что одна из них должна быть на верхнем основании, и ещё одна на нижнем, иначе легко раздвинуть.
Ну вот, я и брал точки так: в полярной системе координат, в которой основаниям цилиндра соответствуют +-1, одна точка ровно на высоте 0 с угловой координатой 0, другие две на высоте +-1 с угловой координатой +-икс. Составив уравнение на синусквадрат этого икса, после всяких вычислений я получил то, что получил. Почему это оптимальный вариант? Не знаю, мне так кажется, можно составить уравнение и для высоты a, и углы брать +-b, но как правило, максимум посередине.