Понятие о Пределах, lim |
1. Заголовок темы должен быть информативным. В противном случае тема закрывается и удаляется ...
2. НЕ используйте форум для личного общения, все что не относится к обсуждению темы - на PM!
3. Одна тема - один вопрос (задача)
4. Спрашивайте и отвечайте четко и по существу!!!
Понятие о Пределах, lim |
Perfez |
10.10.2010 4:54
Сообщение
#1
|
Бывалый Группа: Модераторы Сообщений: 231 Пол: Женский Репутация: 6 |
Вчера я впервые ощутил на себе, что такое быть "туристом" на уроке математики - чувствуешь себя идиотом. полным.
Как не странно, такие функции как просто переписывать с доски ещё не атрофировались - и сейчас я усиленно занят расшифровкой и осмыслением "концепта лимитов". "С лимитами я знаком" - так мне казалось до вчерашнего дня. Вот что я cрисовал c доски на уроке математики вчера: Цитата Задача: f(x)=xsin(1/x) D(f(x))=ℝ-{0} Доказать что, limx→0f(x)=0 Доказательство: Допустим что, ε>0. Нужно найти δ>0 0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<ε Почему? Заметим что: |xsin(1/x)|<=|x||sin(1/x)|<=|x| Почему? Допустим, δ=ε, что означает: 0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<=|x|<δ=ε Почему? Quod Erat Demonstrandum (Доказано) Cловом, почемучка я Был бы рад услышать любые идеи и предложения - как это понимать. Вроде, до сих пор слабоумием не страдал |
Lapp |
10.10.2010 9:58
Сообщение
#2
|
Уникум Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: 159 |
"С лимитами я знаком" - так мне казалось до вчерашнего дня. А приведи определение предела функции, с которым ты знаком. Все, что тут написано - это доказательство по т.н. "определению на языке эпсилон-дельта". Есть альтернативное (но эквивалентное) "определение через последовательности". С каким знаком ты?-------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Lapp |
10.10.2010 12:51
Сообщение
#3
|
Уникум Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: 159 |
Я могу, конечно, написать некоторые пояснения, но от них не будет толку, если ты не разберешься с определниями..
Цитата Допустим что, ε>0. Нужно найти δ>0 Не "допустим", а "берем произвольное ε>0". Это очень важно - понимать, что ε нам как бы ДАНО, и наша найти (подобрать) для этого числа ε такое число δ, чтобы для всех x, входящих в δ-окрестность с выколотой точкой x, значения функции попадали в ε-окрестность предполагаемого значения предела.Цитата 0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<ε Почему? Это и есть выражение условия в определении (написанное мной выше словами)Цитата Заметим что: Тут в первом неравенстве ошибка (не влияющая на исход доказательства) - должно быть равенство. Не знаю, кто ошибся - ты, когда переписывал, или преподаватель, когда писал на доске. Модуль произведения равен произведению модулей.|xsin(1/x)|<=|x||sin(1/x)|<=|x| Почему? А второе неравенство вытекает из того, что модуль синуса не превосходит 1. Цитата Допустим, δ=ε, что означает: Повторяю: смысл доказательства заключается в подборе подходящего числа δ. Подбор этот обычно протекает так: берем некоторое его значение (например, как тут, положим его равным числу ε) и пытаемся доказать, что при нем условие определения будет выполнено. По идее, если это доказать не получается, то нужно продолжать поиск (брать другие значения). Но, ясное дело, в доказательстве, которое учитель проводит на доске, значение будет взято правильно с первой попытки )). Какой смысл брать те значения. которые не приведут к выполнению условия, если нужное значение известно? То есть, глупо было бы, например, пробовать полагать δ равным 2ε - это слишком большая окрестность, значения функции вылезли бы за пределы. Когда же мы полагаем δ равным ε, то все в порядке: х меньше δ, а xsin(x) и еще того меньше (все по модулю имеется в виду, мне лень ставить палочки)). Значит, xsin(x)<ε, и все хорошо . Можно было бы взять даже и посильнее: положить δ равным, например, ε/2. Тогда окрестность по была бы еще меньше, и значения функции, если можно так выразиться, еще надежнее удовлетворяли бы нужному условию! И утверждение было бы доказано. Но это уже лишнее - это была бы не ошибка, но просто некрасиво.. Понимаешь? Число эпислон нам ДАНО, и, исходя из его значения, мы ПОДБИРАЕМ нужное число дельта. И если мы в результате можем описать способ надежного подбора на все случаи жизни (то есть при любых значениях ε>0), то мы тем самым доказываем, что данное число (в нашем случае это ноль) является пределом данной функции. Кстати, поэтому лучше писать так:0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<=|x|<δ=ε Почему? |xsin(1/x)-0|<=|x|<δ=ε - подчеркивая тем самым, что мы доказываем стремление нашей функции к нулю. Перечитай несколько раз, если не поймешь - я попробую объяснить еще подробнее.. И обязательно разберись с определениями! Поскольку существует два эквивалентных подхода, то возможна путаница. -------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Lapp |
11.10.2010 10:47
Сообщение
#4
|
Уникум Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: 159 |
Perfez, твое молчание не очень обнадеживает..
Осталось непонятно? -------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Perfez |
12.10.2010 5:07
Сообщение
#5
|
Бывалый Группа: Модераторы Сообщений: 231 Пол: Женский Репутация: 6 |
Lapp, огромное тебе спасибо
Так. Я попытаюсь описать ситуацию Моё знание пределов ограничивается так называемыми "замечательными" пределами и их следствиями - и соответственно, по стандартной "протоптанной" тропинке, упрощать/приводить всё остальное к ним. Не с определением через последовательности, не определением через ε-δ - увы, не знаком. Ни учебник, да и T.A. не особо помогают. Непонятливый я. Не понимаю именно концепта, логическую цепочку - каждая деталь по отдельности понятна, но не всё вообщем. |
Lapp |
12.10.2010 8:51
Сообщение
#6
|
Уникум Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: 159 |
Не понимаю именно концепта, логическую цепочку - каждая деталь по отдельности понятна, но не всё вообщем. Это нормально. Хорошо, я сделаю еще одну попытку. Эта задача - тьфу, ничто. Главное - это именно консепт. Я попробую помочь. Только дай мне немного времени.. ок?-------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Perfez |
12.10.2010 15:15
Сообщение
#7
|
Бывалый Группа: Модераторы Сообщений: 231 Пол: Женский Репутация: 6 |
Конечно, ок
|
Текстовая версия | 28.09.2024 20:02 |