Теория множеств, счетность и континуум Опции

[Надин]

Мне опять приходится обращаться к Вам за помощью. Чем ближе к сессии, тем глупее я себя чувствую, в голове либо слишком много всего, либо совсем пусто. Не знаю, что делать... Помогите, пожалуйста!!!! Мой препод по матлогу меня не любит и специально дает задачи, к которым я не знаю с какой стороны подступиться!!! ПОЖАЛУЙСТА!!!!!

1.Доказать, что множество всех типов вида n/(2)^k + m/(3)^r, где n,m,r,k-натуральные числа, счетно.
2.Доказать, что множество всех бесконечных неубывающих последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.

На интуитивном уровне все дейтсвительно понятно, но как объяснить это преподу.

[-Hex-]

2Lapp
Да проблеммы у меня вобшем то две. Во-первых, у нас просто не примут доказательство в таком виде как ты даеш. На слова типа "можем отобразить, можем пересчитать" препод тупо скажет -"не можем! если не согласен, докажи что можем". Вобщем в задачах на доказательство требуют чтоб любое высказывание было математически подтверждено.
Во-вторых, я учусь не на русском, поэтому может гдето не совсем улавливаю смысл русских терминов. Вот к примеру ты пишеш:

Но тогда все числа такого вида однозначно отображаются в подмножество четверок натуральных чисел.

все числа - это надо понимать так что f:C->N^4 опеределена для ВСЕХ с? если так, то согласен, это логично.
а однозначно отображаются - f( c)->(m,n,k,r), так что каждому c соответствует один единственный набор (m,n,k,r)? Но ведь это не так?! ведь ты сам строкой выше сказал - "возможно, что одному числу соответствует несколько таких четверок". Вот тут вот я путаюсь...

Обьясни плиз это


и, кстати спасибо, ты мне подсказал вообще элементарное решение))

Зачем какие-то p и q? Зачем их делить??.. При чем тут они вообще?

а вот зачем: в выражении n/(2)^k + m/(3)^r, все переменные - целые числа, (2)^k и (3)^r тоже целые, следовательно дроби n/(2)^k и m/(3)^r имеют вид p/q и принадлежат Q, то есть рациональным числами. Сумма двух рационалных чисел также является числом рациональным. Следовательно множество С является подмножеством множества Q и обладает мошьностью a<=алеф-ноль. С другой стороны очевидно что множество С бесконечно, следовательно мошьность a>=алеф-ноль. Из пересечения последних условий следует a=алеф-ноль. С счетно.