Теория множеств, счетность и континуум Опции

[Надин]

Мне опять приходится обращаться к Вам за помощью. Чем ближе к сессии, тем глупее я себя чувствую, в голове либо слишком много всего, либо совсем пусто. Не знаю, что делать... Помогите, пожалуйста!!!! Мой препод по матлогу меня не любит и специально дает задачи, к которым я не знаю с какой стороны подступиться!!! ПОЖАЛУЙСТА!!!!!

1.Доказать, что множество всех типов вида n/(2)^k + m/(3)^r, где n,m,r,k-натуральные числа, счетно.
2.Доказать, что множество всех бесконечных неубывающих последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.

На интуитивном уровне все дейтсвительно понятно, но как объяснить это преподу.

[-Hex-]

чета я сам себя запутал... вобщем предлогаю такой ход решения:

C={c: c=n/(2)^k + m/(3)^r)

f:C -> N^4
n/(2)^k + m/(3)^r -> (n,k,m,r) перепишем в виде: (n*3^r+m*2^k)/(2^k*3^r) -> (n,k,m,r)
Отсюда видно что доказательство анологично доказательству счетности множества Q, посколько каждый элемент С представлен приведенной дробью типа p/q. (где p = n*3^r+m*2^k, q=2^k*3^r)
Неоходимо лишь доказать, что либо числитель, либо знаменатель могут быть заданы лишь одним единственным способом, тогда и результат от деления может быть задан одним способом. Очвидно что функция р многозначна, докажем что q взаимно обратна.
допустим
2^k*3^r = 2^a*3^b
2^k = 2^a*3^(b-r), числа 2 и 3 простые, поскольку степень простого числа может делится лишь на само простое число(либо произведение n простых чисел), то следовательно b-r = 0, b = r. Аналогично k = a. Отсюда: q=2^k*3^r - взаимно обратна и f тоже взаино обратна.
С~f^-1© и f^-1© содердится в N^4, N^4 - счетна, следовательно и С счетна.