Уравнение Опции

[LuckyI]

Ну вот, как я и обещал, сново мучаю вопросами. На этот раз уравнение с таким условием: "Решить в целых числах уравнение"

(x^2+y^2)(y^2+z^2)=25

Если можно сначало хоть намекните как такое решается, ну а потом, если уж я не додую...

[LuckyI]

Вот только загвоздочка... Переменные то три, а в системе 2 уравнения...
Ну вот приравнял я и ту, и ту скобку к 5
x^2+y^2=5
y^2+z^2=5
Тут ведь 2 переменные должны быть равны друг другу...
О, до меня в процессе писания этого сообщения похоже дошло... -)

Вот как я рассуждаю, x и y, y и z не могут быть равны, так как находятся в одном уравнение, которое равно 5. А чтобы получить 5, нужно 2 разных числа.

А вот если приравнять к 1 и 25
x^2+y^2=1
y^2+z^2=21
Будут равны x и y? Да еще и можно сказать, что равны 1?

Update: Не, чего-то я хрень какую-то написал. Не понимаю...

Update2: Вот на чем я застопорился:
x^2+y^2=5
y^2+z^2=5
Получаю:
x^2=5-y^2
z^2=5-y^2
А вот что дальше делать не пойму...

Сообщение отредактировано: LuckyI - 13.12.2006 20:57

[Lapp]

> Вот только загвоздочка... Переменные то три, а в системе 2 уравнения...
А говорил - обычная для тебя система.. Теперь понял?

> А вот что дальше делать не пойму...
перебирать..

[LuckyI]

А говорил - обычная для тебя система.. Теперь понял?

Угу...

> А вот что дальше делать не пойму...
перебирать..

Т.е. выяснив, что x=z нужно подобрать числа, подходящие в эту систему?
x^2+y^2=5
y^2+z^2=5
Но это ведь нерационально что ли... Ну, допустим, в этой системе подобрать не трудно... а если бы в правой части уравнения было б не 25, а XXX, например... Как тогда, тоже вручную подбирать?
Или я не так понял?

[Lapp]

Но это ведь нерационально что ли... Ну, допустим, в этой системе подобрать не трудно... а если бы в правой части уравнения было б не 25, а XXX, например... Как тогда, тоже вручную подбирать?
Или я не так понял?

Ты все правильно понял.
И именно поэтому твоя задача содержит именно число 25, а не 2179821749219873264.
Ты заметил, что в задачах на квадратные уравнения тоже не встречается слишком уж больших чисел? Скажем, 12-значных. Ведь формула верна и для них!
Не встречается их потому, что на калькуляторе всего 10 разрядов..

К сожалению, общие методы решения существуют далеко не для всех типов задач. Может, пока ты в школе, у тебя может сложиться впечателние, что методы есть для всего - надо только их пройти . Но это абсолютно не так.
Один из моих знакомых (руководитель математического кружка при МГУ) говорил:
"Школьники обычно не совсем правильно представляют себе математику. Вот их сначала научили решать линейные уравнения, а потом квадратные. На факультативе в школе их учат решать кубические уравнения. Вот они и думают, что тут, на кружке, они займутся решением уравнений четвертой степени.."

Математика на 99.9999..% (количество девяток возрастает по мере знакомства с ней) состоит именно из нестандартных подходов и нестандартного мышления. Правда, это абсолютно не исключает того, что для того, чтоб уметь это делать, нужно знать как можно больше из того, что было сделано в ней до тебя.

Задачи на целые числа в основном решаются перебором. Но в каждой из них есть что-то, что облегчает этот перебор, сделает его возможным. Так и тут. Составитель твоей задачи главным моментом в ней считал именно применение идей о разложении чисел, о знаках квадратов и т.п. На сам перебор усилия не делается. Да и зачем?
Стало понятнее?