Дискретная математика, задачи Опции

[setare]

Вот задачи, которые нам задали решить, но как решить не сказали и бросили на произвол судьбы. В книгах в библиотеках вообще ничего найти нельзя. Не могли бы вы помочь хотя бы какую то часть решить. Буду вам очень благодарна. Только пожалуйста, умоляю обьясняйте чуть чуть понятнее, потому что я в этом вообще ничго не смыслю. Спасибо огромное!!!
Вот задачи:
1.Какова мощность множества всех корней уравнения x5-2x3+x=0.
2.Доказать, что множество всех счетных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.
3.Доказать, что если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны и отношения R1R2, R1R2, R1-1, R1R2.
4.Найти порядок перестановки
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(3 5 7 9 6 8 1 2 4).
5.Найти смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных данному натуральному числу n ( Z + / nZ ).
6.Построить группу симметрий куба. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в ней?
7.Найти натуральное число, меньшее 1000, имеющее наибольшее количество делителей.
8. Пусть p-простое число, p>3. Доказать, что если сравнение
x2 + x + 1 = 0 (mod p)
разрешимо, то p имеет вид 6n +1. Вывести отсюда, что множество
простых чисел вида 6n +1 бесконечно.
10. Будет ли множество Z целых чисел подгруппой аддитивной группы,
a + bi с целыми a и b ?
подкольцом или идеалом в кольце А целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида

[Atos]

Всё-таки покопался и нашёл эту тему. Не люблю оставшихся нерешёнными задач, а эта (которая номер 8) очень долго меня мучала. Правильное решение её я всё-таки узнал от нашего препода, ведущего кодирование (а кодирование это на 90% алгебра, теория групп и теория чисел):

Можно рассуждать, используя факт: если порядок элемента поля GF(p) равен k, то p-1 делится на k (это следует из теоремы Лагранжа). Теперь, домножив обе части уравнения на (x-1), получим x^3-1 = 0 (mod p), откуда x^3=1. Т.к. p>3, то x не может быть равен 1. Кроме того, x^2 = -x-1 не равно 1, т.к. иначе x=-2 и x^2+x+1 = 3 =/=0, потому что опять p>3. Значит, порядок x равен 3, откуда p-1 делится на 3. Осталось найти элемент порядка 2. Это, очевидно, будет -1.
Теперь p-1 делится на 2 и на 3, а значит p=6n+1.

В общем, неплохая очень задача: вроде выглядит и просто, но для решения нужно догадаться применить разность кубов и вспомнить факты из теории. В хит-параде задач заняла бы заслуженное место