![]() |
1. Заголовок темы должен быть информативным. В противном случае тема закрывается и удаляется ...
2. НЕ используйте форум для личного общения, все что не относится к обсуждению темы - на PM!
3. Одна тема - один вопрос (задача)
4. Спрашивайте и отвечайте четко и по существу!!!
![]() |
Кошка |
![]()
Сообщение
#1
|
Группа: Пользователи Сообщений: 9 Пол: Женский Реальное имя: Светлана Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно 2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно 3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел. |
![]() ![]() |
Lapp |
![]()
Сообщение
#2
|
![]() Уникум ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Кошка,
не надо постить свои задачи в чужие темы - открывай новые. Задачи хорошие, ответы будут ![]() -------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Lapp |
![]()
Сообщение
#3
|
![]() Уникум ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: ![]() ![]() ![]() |
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, Вопрос по условию: пятерки должны быть подобны между собой? Если да, то при определенной форме пятерки доказательство, боюсь, невозможно. Поскольку в условии не определено точно, что есть пятерка, то будем считать, что они не обязательно должны быть подобны - главное, чтоб читались. Тогда решение состоит в построении примера, и пример я приведу для пятерок вполне определенной формы, которые все же подобны между собой (и даже равны). ![]() На рисунке самая левая пятерка - как бы первая, ее мы размножаем параллельным переносом вдоль синей линии. Синяя линия проходит немного горизонтальнее касательной к закруглению в месте сочленения (красная линия). Понятно, что такую пятерку можно провести через каждую точку синей линии, тем самым их множество равномощно множеству точек на прямой, которое есть континуум. Если касательная наклонена в другую сторону или горизонтальна, то такое решение не годится, но непольшой коррекцией формы мы все же можем добиться набора пятерок, которые будут вложены друг в друга достаточно плотно: ![]() Продолжать процесс до такой степени, что пятерки будут плохо читаемыми, нет необходимости: между красной и синей их уже поместится континуум. Ну и вывод в обоих случаях следующий: мы нашли подмножество мощности континуум, само же множество не может превышать мощности континуум (каждой пятерке можно поставит в соответстие точку - например, край закругления). Следовательно множество пятерок континуально. а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно Тут в некотором смысле проще, хотя рассуждений будет немного больше. Восьмерка в отличие от пятерки обладает площадью. Никакие предположения или ограничения на форму не нужны. Во-первых разобъем все действительные числа на полуинтервалы (1^n, 1^(n+1)], где n - любое целое число. Полуинтервал, в записи которого стоит число n, будем называть n-ым интервалом. Рассмотрим все восьмерки, у которых а) площадь находится в пределах n-ого интервала квадратных метров (далее единицы измерения опускаю); б) диаметр находится в пределах к-го интервала. Будем называть такие восьмерки (n,k)-восьмерками. Рассмотрим круг с центром в начале координат и радиусом равным максимальному диаметру (то есть 2^(k+1) ). В этот круг целиком может поместиться никак не более 2*S/(2^n) (n,k)-восьмерок (включая написанные внутри других таких же восьмерок; S - площадь круга), то есть конечное число. Теперь учтем те восьмерки, которые не вошли в круг полностью. Для этого окружим круг кольцом ширины 2^(k+1). Все они окажутся внутри большого круга, ограниченного внешней границей кольца. Это означает, что их тоже конечное число. Теперь увеличим радиус малого круга вдвое и повторим рассуждения. Таким образом, образовав бесконечную последовательность кругов, мы можем пересчитать все (n,k)-восьмерки. Тем самым мы доказали, что их множество счетно. Осталось только сказать, что количество классов (n,k)-восьмерок тоже счетно. А счетное объединение счетных множество также счетно. Тем самым задача о восьмерках решена. Задача о птичьих следах решается аналогично, с небольшой модификацией. Я напишу решение завтра (если никто не опередит ![]() -------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Michael_Rybak |
![]()
Сообщение
#4
|
Michael_Rybak ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 1 046 Пол: Мужской Реальное имя: Michael_Rybak Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Про восьмерки есть такое решение: поскольку множество рациональных чисел - счетно, то и множество точек с рациональными координатами - счетно, а, значит, счетно и множество *пар* точек с рациональными координатами. Выберем в каждом кругу восьмерки по точке с рац. координатами, и поставим эту пару ей в соответствие. Поскольку восьмерки не пересекаются, каждая пара может встретиться не больше одного раза.
Про птичьи следа - точно так же, только не пары, а тройки (соединяем концы отрезков, получаем треугольник, разбитый на три меньших следом. В каждом из меньших треугольников берем по рациональной точке). Хотя, в принципе, можно и двойками обойтись. Сообщение отредактировано: Michael_Rybak - 2.10.2006 14:24 |
Lapp |
![]()
Сообщение
#5
|
![]() Уникум ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: ![]() ![]() ![]() |
каждая пара может встретиться не больше одного раза. Согласен. Ключ к решению - именно двусвязность, мое решение учитывает ее довольно сложным образом.. Про птичьи следа - точно так же, только не пары, а тройки (соединяем концы отрезков, получаем треугольник, разбитый на три меньших следом. В каждом из меньших треугольников берем по рациональной точке). Хотя, в принципе, можно и двойками обойтись. Боюсь, не годится.. Вот два следа и три рациональных точки, характеризующих каждый из них. Эскизы прикрепленных изображений ![]() -------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Michael_Rybak |
![]()
Сообщение
#6
|
Michael_Rybak ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 1 046 Пол: Мужской Реальное имя: Michael_Rybak Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Да, вы правы. Я тут домучал до решения вроде, но даже не буду постить, т.к. так же изящно, как с восьмерками, не получилось (пока?).
|
Lapp |
![]()
Сообщение
#7
|
![]() Уникум ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Да, вы правы. Я тут домучал до решения вроде, но даже не буду постить, т.к. так же изящно, как с восьмерками, не получилось (пока?). Твое право - постить или не постить ![]() PS Спасибо за вклад в раздел! +1. -------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Michael_Rybak |
![]()
Сообщение
#8
|
Michael_Rybak ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 1 046 Пол: Мужской Реальное имя: Michael_Rybak Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Но если ничего лучшего все же не получится Получилось! ![]() Во-первых, будем рассматривать только следы, у которых все три отрезка равны - действительно, если бы удалось расположить континуум произвольных следов, то каждый след можно было бы обрезать до наименьшей из трех сторон, и получить континуум равносторонних следов. Поэтому, доказав счетность множества тех, покажем и счетность множества других. Будем называть длину отрезков радиусом. Во-вторых, будем рассматривать только следы с рациональным радиусом. Опять же, каждый след с иррациональным радиусом можно обрезать до рационального. А теперь зафиксируем радиус r, и применим критерий, который я приводил - три точки, по одной - в каждом треугольнике. Легко убедиться, что теперь Ваш пример (и аналогичные) построить нельзя. Значит, множество равносторонних следов одинакового рационального радиуса не более чем счетно, а, поскольку рациональных чисел - счетное количество, то и соответствующее декартово произведение (т.е. объединение следов всех радиусов) тоже не более чем счетно. |
Lapp |
![]()
Сообщение
#9
|
![]() Уникум ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Да, теперь лучше
![]() Единственное мое замечание состоит в том, что вместо фразы: Легко убедиться, что теперь Ваш пример (и аналогичные) построить нельзя. - хотелось бы видеть некое геометрическое рассуждение с доказательством, а не ссылку на отсутствие гипотетических примеров. Думаю, ты согласишься.Мое решение в чем-то похоже (начало), в чем-то - нет (геометрия). Оно тоже использует усечение лучей до минимального. Потом я использовал разбиение на классы, как в решении для восьмерок - согласен, что усечение до рационального радиуса проще и красивее. Будем характеризовать каждый след его центром. Далее я использовал то свойство, что один из трех углов должен не превышать 120 градусов. Рассмотрим следы с близкими минимальными углами (аналогично классам в восьмерках, усечение угла до рационального, боюсь, тут не катит). Назовем это приближенное значение а. Поскольку второй (по величине) угол (назовем b) больше a, их сумма двух a. ![]() Таким образом, как видно из картинки, мы не можем расположить синий след (то есть его центр) ближе к черному следу, чем определяет некая граница (обозначена красным пунктиром). Значит, рядом с каждым (r,a)-следом находится некая "мертвая зона" фиксированной площади, в которой нету больше (r,a)-следов. Дальше понятно, полагаю.. ![]() -------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Michael_Rybak |
![]()
Сообщение
#10
|
Michael_Rybak ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 1 046 Пол: Мужской Реальное имя: Michael_Rybak Репутация: ![]() ![]() ![]() |
хотелось бы видеть некое геометрическое рассуждение с доказательством, а не ссылку на отсутствие гипотетических примеров. Думаю, ты согласишься. Соглашусь ![]() Определимся более четко с тем, что такое след (равносторонний, с рациональным радиусом). След задается шестеркой (x, y, r, a1, a2, a3), где ai - углы, определяющие ветки. Из всех шестерок выбираем такую, в которой a1<a2<a3 В соответствие следу (x, y, r, a1, a2, a3) поставим шестерку рациональных чисел (x1, y1, x2, y2, x3, y3). Точку (x1, y1) выберем из сектора, ограниченного отрезками a1 и a2, причем не дальше от центра, чем на r/200. Аналогично выберем две другие точки из двух других секторов. Каждый след делит плоскость на три бесконечные части. Назовем каждую из них гранью следа. Теперь покажем, что двум непересекающимся следам с одинаковым радиусом не может соответствовать одна и та же шестерка. В противном случае понятно, что центры окружностей должны находится не дальше, чем на расстоянии r/100 друг от друга. А из этого следует, что каждый из следов обязательно полностью лежит в одной из граней другого. А это значит, с учетом близости центров, что из трех точек, которые мы поставим в соответствие одному следу, как минимум две будут лежать в одной грани другого. Поэтому совпадение шестерок невозможно. Извините что без рисунков, медленно они у меня получаются :-/ |
Lapp |
![]()
Сообщение
#11
|
![]() Уникум ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 6 823 Пол: Мужской Реальное имя: Лопáрь (Андрей) Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Ты согласен, что в цепочке рассуждений, являющих доказательство, все промежуточные выводы должны быть верными?
![]() ... А из этого следует, что каждый из следов обязательно полностью лежит в одной из граней другого. - ты настаиваешь?.. (руки чешутся нарисовать, но если ты предпочитаешь устно.. ![]() -------------------- я - ветер, я северный холодный ветер
я час расставанья, я год возвращенья домой |
Michael_Rybak |
![]()
Сообщение
#12
|
Michael_Rybak ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Модераторы Сообщений: 1 046 Пол: Мужской Реальное имя: Michael_Rybak Репутация: ![]() ![]() ![]() |
Вот елки
![]() Ну чуть-чуть вылазить может ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Текстовая версия | 22.06.2025 5:51 |