Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Кошка]

Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно
2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно
3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

[Michael_Rybak]

3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

Уточнение - "в множество *положительных* рациональных чисел*

Нужно показать, что каждое рациональное число встретится в последовательности ri, причем ровно 1 раз.

Эту последовательность удобно изобразить двоичным деревом:

Код

|        1
|      /   \
|     2      1/2
|    / \     / \
|   3  1/3  3/2  2/3
| / \  / \  / \  / \
|.....................

Теперь можем говорить об отцах и детях: у каждого числа, кроме 1, ровно 1 отец. У каждого числа ровно 2 сына.

Рассмотрим число a/b. Пусть х - его отец. Тогда либо x+1=a/b, либо 1/(x+1) = a/b, откуда x=(a-b)/b, либо x=(b-a)/a. Поскольку все числа, очевидно, положительные, один из вариантов возможного х отпадает, и остается другой, который поднимает нас на 1 уровень вверх по дереву. Продолжая подниматься, мы всегда приходим к единице, причем единственным способом. Процесс всегда завершится, потому что большее из числителя/знаметаля постоянно уменьшается.