задача по геометрии Опции

[al6262]

Всем Доброго времени суток. Что то ни как не могу решить эту задачку.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С = 90, медианы СС1 и ВВ1 перпендикулярны, найти длинны этих медиан, если медиана АА1 =3(SQRT(3)) (три корня из трех).
Заранее благодарен.

[Michael_Rybak]

Пусть О - точка пересечения медиан.

По условию, угол ВОС = 90

Поскольку СС1 - медиана, треугольник СС1В - равнобедренный, и улгы С1СВ и СВС1 равны
Поэтому трегуольники ВОС и АСВ подобны, а именно:

BC = OC * k
AC = OВ * k
AB = BC * k

Где k - коэф. подобия.

Найдем k. Запишем площадь трапеции СВС1В1.

С одной стороны, она равна CC1 * BB1 / 2 (диагонали перпендикулярны)
С другой стороны, она равна 3/4 * AC * BC / 2 (треугольники СС1В1, СС1А1, А1С1В и АВ1С1 равны).

Имеем:

CC1 * BB1 / 2 = 3/4 * AC * BC / 2

Поскольку О - точка пересечения медиан, имеем CC1 = 3/2 * CO, BB1 = 3/2 * BO
Также помним, что BC = OC * k и АC = OВ * k

Подставим:

CC1 * BB1 / 2 = 3/4 * AC * BC / 2
3/2 * CO * 3/2 * BO / 2 = 3/4 * OB * k * OC * k / 2
3 = k*k

Поэтому коэф. подобия равен SQRT(3).

Поскольку О - точка пересечения медиан, имеем OA1 = 1/3 * AA1 = SQRT(3).
ОА1 - медиана в прямоугольном треугольнике СОВ, поэтому ВС = 2ОА1 = 2 * SQRT(3).

AB = BC * k = 2 * SQRT(3) * SQRT(3) = 6
AC = SQRT(6*6 - 3) = SQRT(33)

BB1 = 3/2 * OB = 3/2 * AC / k = 3/2*SQRT(11)
CC1 = 3/2 * OC = 3/2 * CB / k = 3

Ответы не особо красивые вышли, мог ошибиться в вычислениях, да и само решение, похоже, излишне громоздко. Ну что ж

[Lapp]

Ответы не особо красивые вышли, мог ошибиться в вычислениях, да и само решение, похоже, излишне громоздко.

Да нет, все ничего. Может, только привлечение площади было излишне..

Из подобия можно сказать, что
y = k*a/2 (медиана в большом прямоугольном треугольнике).

Тоже из подобия можно сказать
k*(2/3)*y = a .

Это дает простенькую системку (выражаем у из одного, подставляем в другое, "а" выпадает совсем), из которой следует
k = Sqrt(3)
- в точности как у тебя.
И сразу, зная а (те же рассуждения, что и у тебя, не привожу), имеем y из первой приведенной мной формулы.
х можно найти, например, с помощью теоремы Пифагора.

Единственное замечание: чертежик все же имеет смысл приводить.. Я обычно использую тривиальный Paint, который входит в Винду, и сейвлю в формат GIF - так получается наиболее экономно для таких целей..