Исследование функции, Полное иследование Опции

[Дарья]

Помогите , пожалуйста исследовать функцию
y=ln((x/(x+2)+1)
по следующей схеме:
1. Область существования
2. проверка на периодичность, четность, нечетность.В случае необходимости нахождение характерных точек графика, например пересечение с координатными осями.
3. Первая производная и критические точки функции
4. Вторая производная и критические точки функции
5. Интервалы монотонности, выпуклости или вогнутости, точки экстрэмума и перегиба
6. Ассимптоты
7. Построение графика

Заране спасибо.

[Надин]

1. Область существования, т.е. все возможные х при которых существует данная функция. Функция задана логарифмом, т.е. предполагается что выражение под логарифмом больше 0
Данному условию соответствует системаx+1>0 ; x+2>0) и система (x+1<0; x+2<0)
Решая систему получаем, что область определения : вся числовая ось исключая отрезок [-2;-1]
2.Проверяем на четность и нечетность:
y(x)=ln((x/(x+2)+1)=ln((2x+2)/(x+2))=ln(2x+2)-ln(x+2)=ln2+ln(x+1)-ln(x+2)
y(-x)=ln((-x/(-x+2)+1)=ln((-2x+2)/(-x+2))=ln(-2x+2)-ln(-x+2)=ln2+ln(-x+1)-ln(-x+2)
Очевидно, что y(x)= y(-x) не верно и что y(x)= -y(-x) тоже (простой логарифм функция ни четная, ни нечетная) Хначит наша функция не симметрична ни относительно начала координат, ни относительно оси Ох.
Данная функция не является периодической, т.к. невозможно отыскать такое неотрицательно число Т, чтоб выполнялось равенство. y(x)=y(x+Т)
Пересечение с осями координат единственно в точке (0;0) (простая подстановка х=0 в уравнение)
3. Так, считаем первую производную. Производная от сложной ф-ции
y'=(ln((2x+2)/(x+2)))'=(x+2)/2(x+1)*((2x+2)/(x+2))'=1/(x+1)(x+2)
Получается, что точки -1 и -2 - точки критичности.
4. Вторая производная.
y"=(ln((2x+2)/(x+2)))"=(1/(x+1)(x+2))'=(-3)/((x+1)^2*(x+2)^2).
Точки критичности теже.
5. Функция возрастает на всей области определения, это следует из знака первой производной.
Вторая производная меньше нуля на всей области определения, значит она выпукла вверх,т.е выпуклая
особые точки -2 и -1, но в них не меняется ни монотонность, ни выпуклость функции...