Описанная окружность, Задача... Опции

[Dead.MorozZ]

Помогите решить задачу или подскажите идею!
Через центр O окружности X описаной около треугольника ABC, проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1, C1 соответственно. Окружность Y проходит через точки B1, C1 и кисается окружности X в точке K. Найти угол между прямыми AK и BC. Найти площадь треугольника ABC и радиус окружности X если BC = 9 AK = 8 B1C1 =6.

Сообщение отредактировано: Dead.MorozZ - 23.02.2006 22:53

[Lapp]

Когда нарисуем все, кроме окружности Y, станет ясно, что окружностей, проходящих через B' и C' и касающихся X, можно провести две. Одна из них касается Х в верхней части, другая - в нижней. Возникает вопрос: какая из них имелась в виду? Для ответа исследуем ситуацию.

Пока не будем проводить окружность Y (ни сверху, ни снизу), а вместо этого опишем окружность (назовем ее Z) вокруг тр.AB'C' (на рисунке она красная). Поскольку этот треугольник подобен тр.АВС с центром подобия в А, то и окружность Z подобна Х, а ее центр лежит на отрезке ОА. Но ОА - это радиус окр.Х, и окр.Z проходит через А. Это означает, что Z касается Х в точке А.

Таким образом, Z оказалась одним из возможных воплощений Y. Но Z касается X в точке А, то есть расстояние от А до точки касания равно нулю, а по условию оно равно 8. Следовательно, окружность Y должна касаться Х снизу. Посмотрев на рисунок, легко прийти к выводу, что Y является симметричной к Z относительно B'C'. На этом посторение заканчивается, и начинаются расчеты..

Из симметрии заключаем, что АК перпендикулярна B'C' и делится ей пополам (в т. М): АМ=4. Из подобия находим АN = АМ * (BC/B'C') = 4*(9/6) = 6 . Плошадь тр.АВС равна 0.5*9*6 = 27 .
Все.

PS
Красивая задачка, понравилась.. Спасибо!
Дед, откуда ты их берешь?

Сообщение отредактировано: lapp - 24.02.2006 8:00