Задания из ЦТ, Централизованное абитуриентское тестирование Опции

[Dead.MorozZ]

Помогите решить А2 и А3
Ответы: А2 - 5
А3 - 3
Если можно с коментариями. Хотелось ба понять ход решения.

[Lapp]

Ну я вообще-то имел ввиду, что все задания из ЦТ

Не так важно, откуда взята задача. Это правило нужно, чтоб облегчить поиск. Тот, кто будет искать, скажем, задачи из ЦТ, будет обращать внимание на первый пост, и вероятность, что он пропустит глубоко закопанное условие, довольно велика. Но раз Атос не против - отвечу..

A6
Далее обозначаю Петю, Васю и Толю цифрами 1, 2 и 3.
Запишем условия задачи в форме неравенств.

Код

(А) L1 > L2+8c                       (1 обогнал 2 как минимум 8 раз)
    L1 < L2+9c или (Б) L2+9c > L1    (1 обогнал 2 не больше 8 раз)
(В) L1 > L3+c                        (1 обогнал 2 как минимум 1 раз)
    L1 < L3+3c или (Г) L3+3c > L1    (1 обогнал 3 не больше 2 раз)

Li - это расстояние, которое пробежал каждый;
c - длина одного круга.
В неравенстве В учтено, что 3 стартовал в другой точке, и 1 было легче его обгонять на первом кругу.
Складываем А и Г, получаем:
L3 > L2 + 5c .
Теперь складываем Б и В:
L3 < L2 + 8c .
Ответ: 5, 6 или 7 раз.

A10
Числитель раскладываем по формуле разности квадратов:
(9(x-3)^2 - (x+1)^2) * (9(x-3)^2 + (x+1)^2)
Второй множитель отбрасываем, т.к. он всегда положителен. Первый сомножитель снова раскладываем по той же формуле:
(3(x-3)-(x+1)) * (3(x-3)+(x+1)) = (2x-10)*(4x-8) = 8(x-5)(x-2)
Теперь рассмотрим знаменатель. 2^x - монотонно возрастающая функция, так что мы можем заменить знаменатель на разность степеней:
(x^2-4) - (4-2x) = (x-2)(x+2)+2(x-2) = (x-2)(x+4)
В итоге получаем:

(x-5)(x-2) / ((x-2)(x+4)) = (x-5) / (x+4)
(точка x=2 выколота)
Расставляем нули на отрезке [-6;9]

Код

     +       -        -      +
  -|---|------+----x-----|-------|-->
  -6  -4      0    2     5       9

Тут ноль показан только для ориентации. Точки смены знаков отмечены большими рисками. Точка 2 выколота, так что промежуток [-4;5] разбивается на два полуинтервала. Самый длинный отрицательный промежуток решения - [-4;2). Его длина равна 6. Это ответ №4, тогда как на картинке подчеркнут №3. Проверь арифметику, я мог ошибиться - как два байта..

A11
Нарисуем графики левой и правой части (приблизительно). Асимптоты левой части проходят в x=пи*n, а правой - в x=pi*n-pi/4. Из графика видим, что pi/2 может быть решением. Проверяем - да, решение. Второй корень, как видно из графика, лежит между 3/4*pi и pi. Таким образом, расстояние между корнями должно быть больше, чем pi/4, но меньше, чем pi/2. Теперь прикинем, чему равен arctg(3/7). Очевидно, что он меньше pi/4. Далее действуем методом исключения имеющихся ответов:
1. x < pi/4, не годится
2. pi/4 < x < pi/2, годится
3. x > pi/2, не годится
4. x > pi/2, не годится
5. корень не один, не годится
Ответ: №2