Счетность действительных множеств, я запутался Опции

[CatWarrior]

Вопрос прост:
Множество всех действительных чисел - счетно или нет?

Я учусь на 2 курсе. Нам учитель прочитал доказательство теоремы в которой говорится что все действительные числа счетны.
(У меня правда подозрения на то что может это были только алгебраические числа, хотя в заголовке строго говорится о действительных)

Но до этого у него было доказательство теоремы о том что все действительные числа на отрезке [0,1] несчетны (да и на любом другом).

т.е. Вроде как очевидно получается что Множество всех действительных чисел несчетно. Но в нете точного ответа не найдешь одни люди говорят одно другие другое.

[Lapp]

Не знаю, хотел ли твой учитель похохмить или спровоцировать вас, или может ты его неправильно понял.
Доказательство несчетности действительных чисел на отрезке мелькало тут недавно, можно найти или повторить. Этот вопрос такой, в котором нельзя оставлять неясности. Спрашивай, мы тут к твоим услугам

Действительные числа состоят из алгебраических и трансцендентных?

да. Но я предпочитаю другие названия: рациональные и иррациональные.

алгебраические
- это те которые являются корнями некоторого уравнения (a0+a1z+a2z^2.. anz^n) и т.д. - их счетно?

Да, их счетно. Это даже не нужно доказывать. Каждое уравнение задается КОНЕЧНЫМ набором коэффициентов. Множество таких наборов счетно. Значит, и их решений.

трансцендентные
- трансцендентных несчетно? (вот что их несчетно, это доказывается?)

Доказывается через диагональ Кантора. Если хочешь, могу подробнее. Или дам ссылку на то, что уже было тут.