Теорема Кантора-Бернштейна Опции

[K Y S K A]

КАК ЭТО ДОКАЗАТЬ???

[Lapp]

Хм.. Доказательство этой теоремы не уложится в средний размер обычного поста, да и с обозначениями будет тяжело... Формулируется она просто и вообще выглядит довольно очевидной, поэтому всегда хочется ее объяснить на пальцах. Попробую проиллюстрировать доказательство на примере двух отрезков.

Итак, есть два отображения, которые представляют собой простую проекцию. Отрезок А проектируется на В1, а отрезок В - на А1. Первую проекцию называем f, а вторую - g. Конечно, несложно соорудить новую проекцию, которая установит взаимнолднозначное соответствие между А и В, но мы попробуем сконструировать взаимнооднозначное соответствие между А и В (назовем его h), исключительно на основе данных нам f и g. Рассмотрим верхний кусок А, он у меня выделен зеленым. На нем в качестве нового отображения возьмем f. Далее, на следующем отрезке, красном, в качестве h используем отображение, обратное к g, то есть g^-1 (g в минус первой степени). Оно отобразит наш красный отрезок на коричневый отрезок на В. Следующий зеленый отрезок отображаем на соответствующий синий с помощью снова f, а на следующем, красном, снова используем g^-1 и попадем на следующий коричневый... и так далее. Видно, что таким образом кусочно используя два исходных отображения, мы получим новое, h, которое однозначно отобразит А в В.

Этот процесс иллюстрирует Канторово доказательство, в котором вообще-то присутствуют три множества. Одно - зеленые отрезки - это то, для точек которого процесс многочисленных отражений (см. желтые линии, снизу вверх) оканчивается на А, оно называется А-четное. Другое (красное) то, для точек которого отражения заканчиваются на В, это А-нечетное. Есть и третье множество, для точек которого процесс отражений бесконечен, А-бесконечное. В этом примере оно представлено одной точкой - нижней. Для него, как и для А-четного, в качестве h берем f.

Ну, а строгое доказательство в общем виде можно найти в большинстве учебников по ТМ

Сообщение отредактировано: lapp - 7.12.2005 14:43