Пределы, несколько вопросов Опции

[Анна]

lim arcsin 3x/2x при х -> 0 ответ будет 3 ?

lim 3x^2 + 2x + 1/x^3 - 8 при х -> 2
В знаменателе получается ноль, а в числителе нет. Как это решить?

lim sin (x+4)/x^2 - 16 при х -> - 4 ответ 0 ?

[Lapp]

Когда в знаменателе ноль, а в числителе НЕ ноль, то никакой неопределенности не возникает вообще, никаких заумных правил применять не нужно, а задача становится тривиальной. Ответ (как написал уже Атос) - бесконечность, и это естественно, так как постоянный (примерно) числитель делится но все меньшее и меньшее (по модулю) число. Единственное, что тут может быть "интересно" выяснить, так это какой знак имеет эта самая бесконечность. А знак этот меняется, если при стремлении к нулю знаменатель пересекает абсциссу. В этом конкретном случае когда х стремится к 2 слева (х<2), то знаменатель отрицательный, а когда справа (x>2) - положительный. А числитель положителен всегда. Так что при стремлении х к 2 слева получается минус бесконечность, а справа - плюс бесконечность.

Еще раз повторяю: случай, когда числитель отличен от нуля, а знаменатель нулевой - тривиален, как и случай, когда числитель стремится к бесконечности, а знаменатель не ноль. Интересности возникают при НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ, которые бывают типа "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить но бесконечность". И тогда для того, чтобы узнать предел нужно применять правила Лопиталя..

Сообщение отредактировано: lapp - 4.12.2005 14:15