Дискретная математика, задачи Опции

[setare]

Вот задачи, которые нам задали решить, но как решить не сказали и бросили на произвол судьбы. В книгах в библиотеках вообще ничего найти нельзя. Не могли бы вы помочь хотя бы какую то часть решить. Буду вам очень благодарна. Только пожалуйста, умоляю обьясняйте чуть чуть понятнее, потому что я в этом вообще ничго не смыслю. Спасибо огромное!!!
Вот задачи:
1.Какова мощность множества всех корней уравнения x5-2x3+x=0.
2.Доказать, что множество всех счетных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.
3.Доказать, что если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны и отношения R1R2, R1R2, R1-1, R1R2.
4.Найти порядок перестановки
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(3 5 7 9 6 8 1 2 4).
5.Найти смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных данному натуральному числу n ( Z + / nZ ).
6.Построить группу симметрий куба. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в ней?
7.Найти натуральное число, меньшее 1000, имеющее наибольшее количество делителей.
8. Пусть p-простое число, p>3. Доказать, что если сравнение
x2 + x + 1 = 0 (mod p)
разрешимо, то p имеет вид 6n +1. Вывести отсюда, что множество
простых чисел вида 6n +1 бесконечно.
10. Будет ли множество Z целых чисел подгруппой аддитивной группы,
a + bi с целыми a и b ?
подкольцом или идеалом в кольце А целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида

[Atos]

7. Странная задача. Интересно, это всё руками надо проверять или какой-нибудь специальный алгоритм построения чисел с максимальным количеством делителей есть? В общем, ответ - число 840, имеет 32 делителя. Посчитано этой прогой, которая тупым перебором выдаёт число с наибольшим количеством делителей, которое меньше введённого.

{$n+}                   program test;
uses crt;
var i,j,k,n,tmpmax, maxN,max:word;
begin
readln(n);
max:=0;
maxN:=1;
for i:=1 to n-1 do
  begin
  tmpmax:=0;
  for j:=1 to i do
    if i mod j = 0 then inc(tmpmax);
  if tmpmax> max then begin max:=tmpmax; maxN:=i; {write(maxN,' ',max,'   ');} end;
  end;
writeln(maxN);
readln;
end.

8. Заковыристая, однако, задача... Можно доказать, что x^2+x+1 делится на (6n+1) для некоторого n, но после этого надо ещё доказать, что это самое (6n+1)- простое и не раскладывается на (6p-1)(6s-1) для некоторых p и s. Будем думать...

6. Если группа симметрий- синоним группы поворотов куба, то эта группа изоморфна группе всех перестановок из 4 элементов и наивысший порядок циклических подгрупп равен 4.
См. подробно

Сообщение отредактировано: Atos - 5.10.2005 6:13