Численные методы решения уравнений, + визуализация Опции

[junk]

Метод дихотомии (деления отрезка пополам)

Программа находит корень уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная на отрезке [a,b] функция, удовлетворяющая условию F(a)*F(B)<0. Для нахождения корня отрезок [a,b] делится пополам и выбирается тот полуинтервал, на концах которого знаки F(x) разные. Затем процесс деления повторяется до тех пор, пока длина интервала не станет меньше Eps.

{$n+}
Uses Crt;

Function f(x: Double): Double;
  Begin
    f := 1 / (Exp(x * Ln(2))) - 10 + 0.5*Sqr(x)
  End;

Var
  x, Eps, a, b, c: Double;
  n: Integer;

begin
  ClrScr;
  Writeln('Введите значения a и b'); Read(a, b);
  WriteLn('Введите точность Eps'); Read(Eps);

  n := 0;
  Repeat
    c := (a + b) / 2;
    If (f(a) * f©) < 0 Then b := c
    Else a := c;
    Inc(n)
  Until (b - a) <= Eps;

  x := (a + b) / 2;
  WriteLn('Корень равен  x=', x:10:7);
  WriteLn('Количество делений = ',n);
  ReadKey
end.

Метод хорд

{$n+}
Uses Crt;
Var
  x, Eps, a, b, c: Double;
  n: Integer;

Function f(x: Double): Double;
  Begin
    f := 1 / (Exp(x * Ln(2))) - 10 + 0.5*Sqr(x)
  End;

Function Chord(a, b: Double): Double;
  Begin
    Chord := (f(b)*a - f(a)*b) / (f(b) - f(a))
  End;

begin
  ClrScr;
  Writeln('Введите значения a и b');
  Read(a, b);

  WriteLn('Введите точность Eps');
  Read(Eps);

  ClrScr;
  n := 0;
  Repeat
    C := Chord(a, b);
    If f(a)*f© > 0 Then a := c
    Else b := c;
    Inc(n)
  Until Abs(Chord(a, b) - C) < Eps;

  x := c;
  WriteLn('Корень равен x=', x:10:7);
  WriteLn('Количество итераций =  ',n);
  ReadKey
end.

Метод Ньютона (касательных)

Действительный корень x уравнения F(x) = 0 вычисляется методом Ньютона по итерационному уравнению:
Xk+1 = Xk - F(Xk)/F'(Xk)

{$n+}
Function newton(start, Eps: Extended): Extended;
  Var
    X, prev: Extended;

  { Заданная функция }
  Function F(Arg: Extended): Extended;
    Begin
      F := Sqr(Arg) - 2
    End;

  { Производная заданной функции }
  Function Deriv(Arg: Extended): Extended;
    Begin
      Deriv := 2 * Arg
    End;

  Begin
    X := start;
    Repeat
      prev := X;
      X := prev - F(prev) / Deriv(prev);
    Until Abs(X - prev) <= Eps;
    newton := X
  End;

Var a, Eps: Extended;

begin
  WriteLn('Введите начальное приближение a');
  Read(a);
  WriteLn('Введите точность Eps');
  Read(Eps);

  WriteLn('Корень равен x= ', newton(a, Eps):10:7);
end.

Метод Ньютона с аппроксимацией производной

Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, можно заменить ее вычисление оценкой:
F'(X)= (F(X+h)-F(X))/h

{$n+}
Function newton(start, Eps: Extended): Extended;
  Var
    X, prev: Extended;

  Function noDeriv(Arg: Extended): Extended;

    Function F(Arg: Extended): Extended;
      Begin
        F := 1 / (Exp(arg * Ln(2))) - 10 + 0.5*Sqr(arg)
      End;

    Begin
      noDeriv := -2 * Eps * F(Arg) / (F(Arg + eps) - F(Arg - eps))
    End;

  Begin
    X := start;
    Repeat
      prev := X;
      X := prev + noDeriv(prev)
    Until Abs(X - prev) <= Eps;
    newton := X
  End;

Var a, Eps: Extended;

begin
  WriteLn('Введите начальное приближение a');
  Read(a);
  WriteLn('Введите точность Eps');
  Read(Eps);

  WriteLn('Корень равен x= ', newton(a, Eps):10:7);
end.

[hiv]

Метод итераций. Модернизирован так, чтобы лучше и быстрее сходился. Для этого функция F(x) делится на коэффициент M, который является численным значением производной функции F(x) в каждой точке итерационного приближения. И все равно, главное во всех методах итерационных приближений - это начальное приближение, т.е. то самое первое значение x, с которого стартует метод итераций.

Код

program ITERAT;
uses crt;

const max_iter=100;   {максимальное количество итераций}

var
 i :integer;
 x,x0,eps,M :real;

function F(x:real):real; {функция}
 begin
   F:=5*x*x-exp(1-x)-4;
 end;

begin {основная программа}
 clrscr;
 write('Введите приближенное значение x='); readln(x);
 write('Введите точность вычислений eps='); readln(eps);

 i:=0;
 repeat
   M:=-(F(x+eps)-F(x-eps))/(2*eps); {коэффициент для улучшения сходимости}
   x0:=x;
   x:=x0+F(x0)/M; {сердце метода итераций}
   inc(i);
   writeln('--- Итерация ',i:3,'   x=',x);
   writeln('F(x)=',F(x),'    точность=',abs(x-x0));
 until (abs(x-x0)<=eps)or(i>max_iter);

 if (abs(x-x0)<=eps) then writeln('Ответ: X=',x)
 else writeln('Ответ не найден! За ',max_iter:0,' шагов итерация не сошлась.');

end.

Чтобы получить метод простых итераций, уберите строчку:

Код

   M:=-(F(x+eps)-F(x-eps))/(2*eps); {коэффициент для улучшения сходимости}

И вместо строчки:

Код

   x:=x0+F(x0)/M; {сердце метода итераций}

Наберите:

Код

   x:=x0+F(x0); {сердце метода итераций}