найти минимальное значение Опции

[Математик2005]

смотрите у меня тут есть один надеюсб что вы мне сможете помочь.
Так вот вопрос:
xyz=1
надо найти какое самое минимальное значение может получить выражение:
x^2+4*x*y+8*y^2+16*z^2
у кого получиться решить этот вопрос пожалусть помогите мне.

[Guest]

X^2+4*x*y+8*y^2+16*z^2 мы можем представить как:
x^2+l*x*y+(4-l)*x*y+8*y^2+f*z^2+(16-f)*z^2 , 0<f<16, 0<l<4
xyz=1 >>>> z=1/x
(x^2+l*x*y+(4-l)*x*y+8*y^2+f*z^2+(16-f)*z^2)/6>=(8*l*f(4-l)*(16-f))^(1/6)
x^2+l*x*y+(4-l)*x*y+8*y^2+f*z^2+(16-f)*z^2>=6*(8*l*f(4-l)*(16-f))^(1/6)
чтоб найти минимальное значение нашего многочлена мы должны просто найти максимальное значение 6*(8*l*f*(4-l)*(16-f))^(1/6). чтоб это вырожение было максимально должно быть (4-l)*l-max, (16-f)f-max
применим тоже самое неравенство и получим (4-l+l)/2>=sqrt((4-l)*l)
получим что максимальное значение (4-l)*l=4 тоже самое делается с f*(16-f) и получается что f(16-f) дщлжно быть равно 64 так получаем:
x^2+4*x*y+8*y^2+16*z^2=6*(8*4*64)^(1/6)=12*2^(5/6)=12*exp(ln(32)/6).