Доказать лимит с делением через δ-ε, Лимиты, лимиты - нечего уж меня ограничивать) Опции

[Perfez]

Опять я. Что делать, не знаю уже..

Такой пример:
lim_x→2(2x-7)/(x²+3x+1) = -3/11

Так, как я обычно доказывал с этим экземпляром не проходит.
Например, если lim_x→2-5x+7 = -3 , то обычно я решал проблемы так:

∀ε>0, ∃δ>0; |x-2|<δ→|(-5x+7)-(-3)|<ε
|(-5x+7)-(-3)|<ε
|-5x+10|<ε
5|x-2|<ε
Что следовательно подсказывает нам взять δ=ε/5
В итоге,
(-5x+7)-(-3)|=5|x-2|<5(ε/5)=ε

И в этот раз,я попробовал пойти стандартным путём - ничего особо приятного не выходит.
Потом пришло в голову преобразовать данный лимит в умножение:
lim_x→2(2x-7)/(x²+3x+1) = -3/11 → (lim_x→22x-7 = -3)₁ * (lim_x→21/(x²+3x+1) = 1/11)₂
И решить каждый по отдельности, но опять же ничего разумного во второй части не выходит, кроме как:
1.
lim_x→22x-7 = -3
∀ε>0, ∃δ>0; |x-2|<δ→|(2x-7)-(-3)|<ε
|2x-4|<ε
2|x-2|<ε
2.
lim_x→21/(x²+3x+1) = 1/11
∀ε>0, ∃δ>0; |x-2|<δ→|(1/(x²+3x+1))-1/11|<ε
|(-x²-3x+10)/(11x²+33x+11)|<ε
|((x-2)(x+5))/((x-1/2(-3+sqrt(5)))(x-1/2(-3-sqrt(5))))|<ε
|((x-2)(x+5))/((x+3/2)²-(sqrt(5)/2)²)|<ε
???

Сообщение отредактировано: Perfez - 27.10.2010 13:07