Ортогональное проектирование, трёхмерного пространства на плоскость Опции

[Footballplayer]

Здрвствуйте.
Прошу помощи.

Необходимо вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства Е³ на плоскость,натянутую на векторы а(-1,1,-1) и b(1,-3,2)
Скалярное произведение стандартное.

Вот, что я думаю по поводу решения:
1.Находим уравнение плоскости, на которое проектируем пространство: x-y-2z=0
2. Находим ФСР этой системы (состоит из одного этого уравнения ) : получаем вектора е₁(1,1,0),e₂(2,0.1)

а вот далее я думаю надо искать ортогональную состовляющую..
или..
не знаю
самое ужасное что не могу толком представить это на бумаге.Имею в виду пространственное воображение


Понимаю, что вы все здесь люди занятые.Однако параллельно понимаю, что вы очень умные.Часто просматриваю форум.
Поэтому прошу помощи.

Сообщение отредактировано: Footballplayer - 28.01.2010 16:12

[TarasBer]

Допустим, что мы проеЦируем (а не проектируем, проектируют самолёты) на плоскость, проходящую через ноль, и перпендикулярную вектору v = (X, Y, Z).
Тогда вектор u (x, y, z) должен перейти в u - v*<u, v>/sqr(v) (просто вычитаем проекцию на прямую, проходящую через v)
То есть имеем отображение (x, y, z)|->(x, y, z) - (X, Y, Z) * ((xX+yY+zZ)/(sqr(v)) =
(x-X*(xX+yY+zZ)/(sqr(v)), ...) =
((1-sqr(X))/sqr(v) * x + (-X*Y)/sqr(v) * y + (-X*Z)/sqr(v) * z, ...)
Таким образом, вся матрица выглядит так:

Код

(1-sqr(X))/sqr(v)  (-X*Y)/sqr(v)      (-X*Z)/sqr(v)
(-X*Y)/sqr(v)      (1-sqr(Y))/sqr(v)  (-Y*Z)/sqr(v)
(-X*Z)/sqr(v)      (-Y*Z)/sqr(v)      (1-sqr(Z))/sqr(v)

[Footballplayer]

TarasBer спасибо большое за предоставленное решение.Его ход я понял.Однако:

Тогда вектор u (x, y, z) должен перейти в u - v*<u, v>/sqr(v) (просто вычитаем проекцию на прямую, проходящую через v)

1.Немножко не понял смысл Вашей фразы "просто вычитаем проекцию НА прямую"
2.Эту формулу мы не доказывали на лекциях, поэтому её нам использовать нельзя.. вот такие пироги

Мне преподователь сказала, что здесь используется задача о перпендикуляре.
А как? не понимаю

и ещё:
элемент (1,1) полученной матрицы при подстановке равен нулю насколько я понял.С ответом это уже не сходится

Но всё равно спаибо

Сообщение отредактировано: Footballplayer - 28.01.2010 14:24

[Lapp]

1.Немножко не понял смысл Вашей фразы "просто вычитаем проекцию НА прямую"
...
Мне преподователь сказала, что здесь используется задача о перпендикуляре.

Хм.. может, так понятнее:
"просто вычитаем проекцию на прямую, проходящую через v"
То есть не "вычитаем проекцию на", а "проекцию на прямую, проходящую через v, просто вычитаем".
Я правильно уловил смысл вопроса?..

А что есть задача о перпендикуляре? Можешь пояснить?