задачи по мат.анализу Опции

[leon00831]

у мня есть несколько легких задач по мат. анализу и мне хотелось ба узнать ваши предложения по поводу решения:
1.как доказать,что множество алгебраических чисел счетно?
2.какая будет мощность у множества А с индексом k?(A-множество алгебраич.чисел,индекс k указывает на степень алг.числа)?
3.можно ли расположить на прямой континуум непересекающихся :
а)интервалов на прямой?
б)отрезков на прямой?
Если да или нет,то как доказать?


Сообщение отредактировано: leon00831 - 6.01.2010 16:12

[Lapp]

Среднее арифметическое двух рациональных есть рациональное по определению.

Не "по определению", а "легко доказать, что". Это "две большие разницы" (С)

насчет рац.чисел то понятно,но что делать,когда числа иррациональные?

Тут масса способов, все они несложные, но могут зависеть от принятой системы аксиом. Вообще, обычно достаточно сказать, что множество рациональных чисел всюду плотно, но можно и не пользоваться этим. Например, знаешь, что рациональные представляются конечной, а иррациональные - бесконечной десятичной дробью? Если нам даны два иррациональных числа, то находим первый знак, в котором отличие, и обрезаем обе дроби за следующим и добавлением еще одной цифры и подбором ее конструирум то, что надо (но нужно быть осторожным, там есть подводные камни).

Или так:
даны a и b - иррациональные (a<b). Берем r₁<a и r₂>b. Далее находим r₃ посредине отрезка [r₁,r₂], потом середины половинок и т.д. Таким образои покрываем все сеткой со стремящимся к нулю размером яцейки и рациональными узлами. Когда длина ячейки станет меньше разности b-a, узел попадет между ними.

Кстати, первый способ практически эквивалентен второму с делением не на две части, а на десять )).