Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Кошка]

Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно
2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно
3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

[Lapp]

У спирали должно быть ограничение на шаг (т.е. расстояние между двумя соседними витками) такое, чтобы никакой шестиугольник не мог поместиться между витками. Как вариант - спираль с постоянным шагом, но не единственная, а мношество спиралей, начинающееся с единственной, к которой по мере ее раскрутки (и уменьшения кривизны) добавляются другие спирали "параллельные" данной.
Возможен вариант и с разбиением плоскости на счетное количество конечных регионов, внутри каждого из которых своя спираль.
В ЛЮБОМ случае ход спирали никак не зависит от имеющихся либо не имеющихся в данном месте шестиугольников, поэтому наличие бесконечного их количества в конечной области пространства никак не может "остановить" спираль. Многоугольники подсчитываются в том порядке, в котором их пересекла спираль. Если многоугольник будет пересечен спиралью более одного раза (а это непременно случится), то либо считать его несколько раз (что ничего не меняет), либо учитывать только первое пересечение.

Сергей, у меня такое ощущение, что ты читаешь мои посты недостаточно внимательно. Во всяком случае, ты стойко не обращаешь внимания на присутствующие в них ключевые слова "предельная точка". Пожалуйста, объясни как можно точнее поведение спирали на подходе к ней (пример выше).
Далее, я говорю о неплотном множестве предельных точек. Можешь ты доказать, что оно действительно таково? Для твоего метода решения это жизненно необходимо. Извини, но твои слова о "параллельных спиралях" очень общие. Ты либо укажи точный способ обхода, либо хватит пространных слов.

а можно попробовать установить соответствие с квадратом,а потом доказакть,что множество восьмерок рац.чисел счетно?шестиугольники ведь равносторонние,значит вариантов построения не так много???

Гость (он же автор вопроса, он же leon00831, насколько я понимаю) о чем ты говоришь? Решение задачи дано выше (пост №18) - чем оно тебя не устраивает?.. Ты хочешь решить другим способом? Тогда по крайней мере скажи, об этом. И при чем тут восьмерки?? Это совсем другая задача. Еще раз: полное и точное решение смотри в сообщении номер 18. Что-то не так с ним? Его у тебя не приняли? Тогда скажи, как ты его подавал и что ответили.. А отвечать на все фантазии мне уже начинает надоедать..