Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Кошка]

Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно
2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно
3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

[andriano]

0. Насколько мне известно, настоятельно рекомендуется задавать новые вопросы в новых темах.
1. Свести к любому одномерному случаю: множество прямых, проходящих через одну точку либо параллельных прямых, проходящих через отрезок, после чего воспроизвести одномерное доказательство либо просто сослаться на него.
2. Нет.

[Lapp]

М

Гость, пожалуйста, зарегистрируйся и создавай свои собственные темы.

1. Свести к любому одномерному случаю: множество прямых, проходящих через одну точку либо параллельных прямых, проходящих через отрезок, после чего воспроизвести одномерное доказательство либо просто сослаться на него.

А как сводить? Это еще вопрос..
Все проще, мне кажется. Прямая задается уравнением ax+by=0. Числа a и b - действительные. Их можно интерперетировать как координаты в двумерном пространстве, а количество точек в нем - континуум.
[приведенное решение не совсем верное, см. исправление в посте #37]

2. Нет.

andriano необычно для него краток )).
Если речь идет о выпуклых шестиугольниках, то все совсем просто. Как известно, если выпуклый многоугольник А вложен в выпуклый многоугольник В, то периметр А меньше периметра В (доказательство могу привести). Тут же все периметры равны - следовательно, вложенности быть не должно. Далее, при ненулевой площади всегда можно найти внутри фигуры точку с рациональными координатами. Ставим эту точку в соответствие шестиугольнику - и все пересчитано.

Сообщение отредактировано: Lapp - 9.01.2010 1:20

[andriano]

А как сводить?

Было предложено 2 варианта.

Все проще, мне кажется. Прямая задается уравнением ax+by=0. Числа a и b - действительные. Их можно интерперетировать как координаты в двумерном пространстве, а количество точек в нем - континуум.

Можно и так, но это "двумерные" варианты. Предложенные мною варианты при данном подходе соответствуют b=0 и a=const соответственно.
Хотя бы для того, чтобы не доказывать, что квадрат континуума есть континуум.

andriano необычно для него краток )).

Я ответил на поставленный вопрос.
Если бы требовалось доказательство, я бы предложил выбрать один из многоугольников и перенумеровать остальные по спирали от него.

[Lapp]

Сергей, это несерьезно..

Было предложено 2 варианта.

Какие варианты? Где в них хоть намек на (верное) доказательство? Через точку или отрезок проходит много прямых..

Можно и так, но это "двумерные" варианты. Предложенные мною варианты при данном подходе соответствуют b=0 и a=const соответственно.

Доказательство "социализма в отдельно взятой стране"? И зачем оно? И кому оно надо? Нужно доказательство для всех прямых, а не для подмножества.

Хотя бы для того, чтобы не доказывать, что квадрат континуума есть континуум.

Достойная цель )). Надеюсь, опираться на доказанные факты можно. Если нет или не еще доказывалось - надеюсь, автор темы продолжит спрашивать.

Если бы требовалось доказательство, я бы предложил выбрать один из многоугольников и перенумеровать остальные по спирали от него.

Доказательство требуется несомненно. Спираль абсолютно не годится в его качестве. Без рассуждения о невложенности она вообще вызывает недоумение. Да и с ним - не более, чем ошибка..

[andriano]

Доказательство требуется несомненно. Спираль абсолютно не годится в его качестве. Без рассуждения о невложенности она вообще вызывает недоумение. Да и с ним - не более, чем ошибка..

Мне кажется, ты придираешься.
1. В исходном сообщении был вопрос, на который я ответил. Речи о необходимости доказывать не было. Следовательно тезис "Доказательство требуется несомненно." исходит исключительно от тебя, но не от автора исходного сообщения. Так что позволь мне исходить из своих, а не из твоих предположений о том, что же на самом деле требуется.
1а. И даже в том случае, если решение мне неведомо, но у меня есть что сказать по ЧАСТИ затронутых вопросов, не вижу противопоказаний для ответа.
2. Пути, по которым может пойти доказательство, я указал. Полное доказательство, естественно, нет. Упоминание о ax+by=0 точно так же не более, чем указание пути. Мне кажется, не очень справедливо предъявлять к другим требования, которых сам не спешишь придерживаться.
3. Невложенность, особенно в условиях многоугольников строго определенного вида (с фиксированным количеством углов и равной длиной всех сторон), мне кажется достаточно очевидной. В полном доказательстве, естественно, о ней нужно упомянуть, но упоминания в краткой схеме она IMHO недостойна.
4. При указании ошибки желательно указать хотя бы один опровергающий пример.

[Lapp]

Мне кажется, ты придираешься.

Я старался говорить только о существенных вещах..

1. В исходном сообщении был вопрос, на который я ответил. Речи о необходимости доказывать не было. Следовательно тезис "Доказательство требуется несомненно." исходит исключительно от тебя, но не от автора исходного сообщения. Так что позволь мне исходить из своих, а не из твоих предположений о том, что же на самом деле требуется.

Ок, с этим не буду спорить. Извиняюсь, если обидел.

1а. И даже в том случае, если решение мне неведомо, но у меня есть что сказать по ЧАСТИ затронутых вопросов, не вижу противопоказаний для ответа.

Безусловно. Как и я не вижу оснований не возразить .

2. Пути, по которым может пойти доказательство, я указал. Полное доказательство, естественно, нет. Упоминание о ax+by=0 точно так же не более, чем указание пути. Мне кажется, не очень справедливо предъявлять к другим требования, которых сам не спешишь придерживаться.

Э, нет! Я привел полное доказательство, которое нормальный преп защитает (если не попросит доказательства континуальности плоскости). какие указания пути?? все четко.

3. Невложенность, особенно в условиях многоугольников строго определенного вида (с фиксированным количеством углов и равной длиной всех сторон), мне кажется достаточно очевидной.

Да?.. уважаю.. Я думал над этим не меньше получаса, почти час.. правда, без бумажки. Тупею, наверное..

В полном доказательстве, естественно, о ней нужно упомянуть, но упоминания в краткой схеме она IMHO недостойна.

гм-гм.. но возразить как-то нечего.. И все-таки, из каких именно условий задачи она вытекает, я бы не посчитал лишним сказать.

4. При указании ошибки желательно указать хотя бы один опровергающий пример.

Хм.. Сейчас попробую.. Так. Схема с по крайней мере несколькими предельными точками, к которым стягиваются последовательности шестиугольников. Нескольких вполне достаточно, хотя их может быть бесконечное количество.

[andriano]

Хм.. Сейчас попробую.. Так. Схема с по крайней мере несколькими предельными точками, к которым стягиваются последовательности шестиугольников. Нескольких вполне достаточно, хотя их может быть бесконечное количество.

Это уже проба или она запланирована на дальнейшее?
Если первое, то я толком не понял о чем речь. Но если "последовательность", то она как бы изначально подразумевает либо конечность, либо счетность.

[Lapp]

Это уже проба или она запланирована на дальнейшее?

Нет, это контрпример.

Если первое, то я толком не понял о чем речь. Но если "последовательность", то она как бы изначально подразумевает либо конечность, либо счетность.

Последовательность в данном случае подразумевает бесконечность, на которой спираль споткнется. Ты, правда, не определил спираль полностью, но я так ее интуитивно понял. При чем тут счетность, я не знаю - спираль есть спираль, и она не годится.

[andriano]

При чем тут счетность, я не знаю - спираль есть спираль, и она не годится.

Можно аргументировать, почему не годится?