доказать на языке эпсилон-дельта, котангес.предел.язык определения эпсилон-дельта Опции

[кучаТрупов]

вот само задание.



вот мое абсолютно неправильное решение)

пример для предела: lim cos(2-3x)=cos1 при x-->1



а мне нужно решить для примера-- lim ctg(2x+9)=ctg3 при x-->-3


определение предела на языке эбсэлон-дельта:
число А называется пределом(пределом справа,пределом слева) функции f в точке x0 принадлежащей множеству X, если для любого эбсэлон больше нуля существует дельта зависящее от эбселон и большее нуля такое,что для любого х удовлетворяющего неравенству (x0-дельта)<х<(х0 + дельта) выполняется неравенство модуль(f(x)-A)<эбсэлон

[Lapp]

Хорошо, давай сначала .

Делаем замену y=-3+x (тогда x-x0 = x-3 = y).
Преобразуем разность функций:

ctg(2(-3+y)+9) - ctg(3) =
ctg(3+2y) - ctg(3) =
cos(3+2y) / sin(3+2y) - cos(3) / sin(3) =
(cos(3+2y)*sin(3) - cos(3)*sin(3+2y)) / sin(3+2y) / sin(3) =
sin(2y) / (sin(3)*cos(2y)+cos(3)*sin(2y)) / sin(3)

Теперь выберем произвольное e (эпсилон). Наша задача: найти такое d (дельта), чтобы при любом y, удовлетворяющем условию 0<y<d выполнялось и

|sin(2y) / (sin(3)*cos(2y)+cos(3)*sin(2y))| / |sin(3)| < e .

С учетом, что sin(3)>0 :
|sin(2y) / (sin(3)*cos(2y)+cos(3)*sin(2y))| < e*sin(3) .

Поскольку обе стороны неравенства больше нуля, переворачиваем его (единицу делим на стороны со сменой знака неравенства) :
|sin(3)*cos(2y)/sin(2y) + cos(3)| > 1 / (e*sin(3)) .

Используем свойство модуля |a-b| => |a| - |b| , завышаем требования:
|sin(3)*cos(2y)/sin(2y)| - |cos(3)| > 1 / (e*sin(3))
- если выполнено это, то выполнено и то.

Так как cos(3)~-0.99<0, то |cos(3)|=-cos(3). Переносим его вправо:
|sin(3)*cos(2y)/sin(2y)| > 1/e/sin(3) - cos(3)

Так как sin(3)~0.14>0 , то:
|cos(2y)/sin(2y)| > (1/e/sin(3) - cos(3)) / sin(3) = M
- обозначим M для простоты.

Еше раз переворачиваем:
|sin(2y)/cos(2y)| < 1/M .

Выберем d<Pi/6 , тогда cos(2y)>1/2>0
Получаем:
|sin(2y)| < cos(2y)/M .

Снова загрубляем, заменяя косинус на 1/2:
|sin(2y)| < 1/2/M.

Используя |sin(x)|<=|x| , снова загрубляем неравенство:
|2y| < 1/2/M ,
или:
|y| < 1/4/M
- снова, если выолнено это, то выполнено и то.
Это значит, что можно взять d=1/4/M , то есть:

d = sin(3) / (1/e/sin(3) - cos(3)) / 4 .

Осталось пересечь с наложенным ранее условием d<Pi/6, и это и есть искомая дельта.
Надеюсь, не ошибся в арифметике . Отвык я от нее..

Добавлено через 10 мин.
Стремление синуса к нулю эквивалентно в определенном смысле неравенству |sin(x)|<|x|, которое использовано в методичке. Так что я свел к нему.