МатАн и ЭлМа, матанализ и элементарная математика Опции

[Evyn]

Помогите плиз!!

1.)
Непосредственно используя определение предела последовательности, доказать, что

lim (5*(3^n)) / ((3^n)-2) = 5
n->беск.


2.)
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности


X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural


3.)
Доказать, что последовательность X-n = 3^(n*(-3)^n) де имеет предела


4.)
Исследовать, какие из написанных последовательностей неограниченные(но не являются бесконечно большими), какие бесконечно большие и, если есть, описать прочие случаи:

а) X-n = (1+(-1)^n)Log_2(n) ; б) X_n = n^2 (1+cos((Pi*n)/3) ; в) X_n=(2^n)/2 ;


5.)
Используя критерий Коши доказать сходимость последовательности

n
X_n = Summa (Sin k) / (7^k + 2) ;
k=1


6.) Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности:

n
X_n = Summa 1 / (k*(3^(k-1)) ;
k=1




7.)
Найти сумму корней уравнения


(sin( 3x / 2 ) - cos( 3x / 2))^2 = 1 - sin(5x)
принадлежащие отрезку [0 ; 90]

Сообщение отредактировано: Evyn - 11.11.2007 21:54

[Evyn]

Решаю пример 2:
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности
X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural

-I-
| (((3^n)+1) / ((6^n)+2)) -1| <E

-II-
1 < (3^n / ((6^n)+2)

-III-
(((3^n)+1) / ((6^n)+2)) -1 <E | * ((6^n)+2))

-IV-
(3^n)+1-(6^n)+2 < E((6^n)+2)

-V-
-3^n + 3 < E * 6^n + 2*E

-VI-
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n

далее наступают сомнения
------------------------------------------------------
ВариантРешения1:
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n можно сократить 3^n и 6^n, тогда получится

2*E - 1 + 3 < E * 3^n (то что умножалось на n сократилось)

(2 - 1 + 3)/E < 3^n => 4/E< 3^n

ВариантРешения2:
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n так и оставить

(2 - 3^n + 3)/E < 6^n => (1- 3^n)/E< 6^n
------------------------------------------------------

-VII-
Если смотреть по ВариантРешения1 то получается Log3(4/E)<n


Проверка:

Задаем самопроизвольно Е=0,5
Log3(4/0,5)<n
Log3(8)<n
~2 > n (Ч.Т.Д. если ВариантРешения1 истино)!

Сообщение отредактировано: Evyn - 12.11.2007 21:10