МатАн и ЭлМа, матанализ и элементарная математика Опции

[Evyn]

Помогите плиз!!

1.)
Непосредственно используя определение предела последовательности, доказать, что

lim (5*(3^n)) / ((3^n)-2) = 5
n->беск.


2.)
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности


X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural


3.)
Доказать, что последовательность X-n = 3^(n*(-3)^n) де имеет предела


4.)
Исследовать, какие из написанных последовательностей неограниченные(но не являются бесконечно большими), какие бесконечно большие и, если есть, описать прочие случаи:

а) X-n = (1+(-1)^n)Log_2(n) ; б) X_n = n^2 (1+cos((Pi*n)/3) ; в) X_n=(2^n)/2 ;


5.)
Используя критерий Коши доказать сходимость последовательности

n
X_n = Summa (Sin k) / (7^k + 2) ;
k=1


6.) Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности:

n
X_n = Summa 1 / (k*(3^(k-1)) ;
k=1




7.)
Найти сумму корней уравнения


(sin( 3x / 2 ) - cos( 3x / 2))^2 = 1 - sin(5x)
принадлежащие отрезку [0 ; 90]

Сообщение отредактировано: Evyn - 11.11.2007 21:54

[Evyn]

RE: модуль :
Модулем действительного числа a по определению называется само это число, если a ≥ 0, если же a < 0, то модулем такого числа называют число –a.


RE: Е (эпсилон) - это то, что задает Дядя.
то есть Е - это любое действительное число, которое по определению больше N

[Lapp]

Модулем действительного числа a по определению называется само это число, если a ≥ 0, если же a < 0, то модулем такого числа называют число –a.

Верно.
Погоди-ка.. Кажется, я ошибся в рассчетах . У меня почему-то получилось, что выражение под модулем меньше нуля (и потому я сменил знак при снятии модуля), а оно на самом деле больше нуля, и знак менять не нужно.. Извиняюсь.. Давай посмотрим, как это скажется на доказательстве. Ниже я скопировал кусок из доказательства и исправил его. По ходу дела нашел и исправил еще пару ошибок..
(Исправленное доказательство выделено курсивом)

|5*3^n/(3^n-2) - 5| < E

3^n всегда больше 2, то есть знаменатель в дроби всегда положителен, и еще можно сказать, что он меньше 3^n. Это означает, что

1 < 3^n/(3^n-2)

Таким образом, выражение под модулем всегда больше нуля. Теперь снимем модуль (не меняя знака). Получаем:

5*3^n/(3^n-2) - 5 < E

Теперь домножим все неравенство на 3^n-2 (оно больше нуля, так что можно).

5*3^n - 5*3^n + 5*2 < E*3^n - 2*E

Левая часть упрощается:

5*2 < E*3^n - 2*E

Последний член переносим вправо:

2*E + 5*2 < E*3^n

Теперь все делим на Е (оно больше нуля, так что можно)

2 + 10/E < 3^n

Логарифмируем обе части:

Log3(2+10/E) < n

(здесь Log3 - это логарифм по основанию 3).
Таким образом, мы нашли, что при n > Log3(2+10/E) нужное нам неравенство верно. Положим N равным первому целому, превосходящему Log3(2+10/E). При всех n>N наше неравенство все равно будет выполняться. Значит, мы нашли то самое N, о котором говорилось в определении, и выполнили условия определения предела последовательности (при n>N члены последовательности отличаются от 5 не больше, чем на Е). Значит, 5 является пределом этой последовательности. Ч.Т.Д.

Еще раз извиняюсь за ошибки. Спасибо тебе, что не копировал бездумно!
Теперь переходим к эпсилон..

RE: Е (эпсилон) - это то, что задает Дядя.
то есть Е - это любое действительное число, которое по определению больше N

Нет. Е - это любое число, большее нуля. Оно не может сравниваться с N. Давай разберем работу определения на более простом примере..

Дана последовательность: Ai = 1/i
То есть такая: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
Ее члены уменьшаются и в целом ясно, что они приближаются к нулю, то есть предел этой последовательности равен нулю. Но давай проведем док-во этого по определению.
1. Мы предполагаем, что предел этой последовательности равен 0.
2. Для доказательства мы должны быть готовы сказать Дяде, когда он даст нам Е, какое ему нужно взять N, чтобы все члены последовательности за этим N отличались от предела (то есть, в данном случае, от нуля) не больше, чем Е.
3. Игра начинается..
4. Дядя говорит: мое Е=5. Какое будет ваше N?
5. Мы отвечаем: наше N=1. Все члены последовательности меньше пяти, даже самый первый!
6. Дядя говорит: да, члены последовательности маленькие... Я вижу, что вы записали: там и одна вторая, и одна треть, и даже одна четверть. Это маленькие числа, но все же не очень.. Вот, допустим, я беру Е=0.1. Что, съели?
7. Мы отвечаем: съели, вкусно. Наше N=10. За этим номером идут такие члены: 1/11, 1/12, 1/13 ... Все они меньше, чем 0.1
8. Дядя ухмыляется: а если я возьму Е=0.000001 ?? Сможете вы найти такое N, чтоб весь хвост за ним был меньше Е?
9. Да, отвечаем, сможем. Наше N=1000000. Члены за ним равны: 1/1000001, 1/1000002, 1/1000003, ... - и они все меньше, чем 0.000001
10. Дядя: ну если я...
11. Мы перебиваем: Дядя, не трудись. Какое бы Е ты ни взял, даже очень маленькое, мы всегда сможем найти такое N, хвост за которым весь меньше твоего Е. Мы просто возьмем N равное первому целому, большему чем 1/E.
12. Дядя: я сдаюсь, проиграл. Похоже, эта последовательность действительно стремится к нулю..

Понятно? Для этого простого примера формула такая: N > 1/E.
Важно: мы угадали значение предела, это было нетрудно. Но если представить себе, что мы ошиблись и попытались бы доказать, что предел этой последовательности равен, скажем, 1, то ничего бы не вышло. Разности |1/i - 1| не становились бы маленькими, какое бы большое N мы ни взяли.. Предел у последовательности, если он есть - только один-единственный!

Стало понятнее? Попробуй решить аналогичный пример из того списка и покажи тут свое решение.