Геометрический подход, Теория вероятности Опции

[Rocket]

Вот условие задачи: противотанковые мины поставлены на прямой через 15 метров. Танк, шириной 3 метра,идет перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он подорвётся?
Казалось бы, что задача довольно простенькая и ответ напрашивается сам по себе - 2/5. Но данный ответ был забракован преподавателем. Какие есть ещё варианты по решению данной задачи?

[Чужак]

Нарисовал на рисунке отрезок, на котором
мины, так примерно (звездочки-танк)-

----------/-------------/-------------

|
#**#
#**#

и вижу-не совсем корректно указаны граничные условия-линия что, бесконечна?
Какова её длина и сколько на ней примерно мин?
Если знать граничные условия, то можно решать методом перебора-если, скажем её длина 60м-то на ней 3 или 4 мины, и "мерить удава попугаями"-считать, сколько вариантов танк может проехать-всего, и сколько-подорваться. Их соотношение (подорваться/проехать) и будет приблизительной вероятностью.

Сообщение отредактировано: Чужак - 22.10.2008 0:18

[Rocket]

Нарисовал на рисунке отрезок, на котором
мины, так примерно (звездочки-танк)-

----------/-------------/-------------

|
#**#
#**#

и вижу-не совсем корректно указаны граничные условия-линия что, бесконечна?
Какова её длина и сколько на ней примерно мин?
Если знать граничные условия, то можно решать методом перебора-если, скажем её длина 60м-то на ней 3 или 4 мины, и "мерить удава попугаями"-считать, сколько вариантов танк может проехать-всего, и сколько-подорваться. Их соотношение (подорваться/проехать) и будет приблизительной вероятностью.

Какие граничные условия? Задачу нужно решать, используя геометрический подход...да и рисунок уж больно замысловатый получился

[мисс_граффити]

Мины сами размера не имеют?
Геометрическая интерпретация - это соотношение длин отрезка, на котором танк подорвется, к общему... Так что общая длина полосы (или хотя бы куска, в который гарантированно попадет танк) нужна. Или прямая - бесконечная?
Мне кажется, условие передано не полностью.

[Чужак]

Какие граничные условия? Задачу нужно решать, используя геометрический подход...да и рисунок уж больно замысловатый получился

А какой ты хотел? Нарисуй сам...
Если не известны граничные условия,
т.е. есть отрезок Дл=15 м и танк, Шр=3м, то геометрически
задача решается все равно в цикле (программы Паскаля ) , путем перебора вероятностей,
друмя похожими методами-везде сначала отрезок делится до тех пор,
пока вероятность не станет равна 1-танк не пройдет.
1. Пошаговым раздвижением начиная от 1 или трех.
Т.е. 1-шаг на 15 метрах мины через 1 метр-вероятность равна 1.
2-шаг на 15 метрах мины через 2 метра-вероятность равна 1.
3-шаг на 15 метрах мины через 3 метра-вероятность равна 1.
4-шаг на 15 метрах мины через 4 метра-вероятность равна ?. и т.д. до 15.
2. Дихотомическим делением Ротенфельда - отрезок длиной 15
делится на 2 до тех пор, пока вероятность не станет равна 1, далее снова пошагово.
Поскольку метод малоизвестен, вот тебе ссылка на Википедию, статья
"Ахиллес и черепаха". Статья маленькая, потому копирую её полностью.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%85%...%B0%D1%85%D0%B0

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ахиллес и черепаха — одна из апорий Зенона.

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась на некотором расстоянии от него.

Допустим Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха отползёт на 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё на 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Математическое описание

Действительно, пусть начальное расстояние есть a и пусть Ахиллес всегда бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пробежит расстояние a, черепаха отползёт на a/k, когда Ахиллес пройдёт это расстояние, черепаха отползёт на a/kІ? и т. д., то есть всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.

В этой апории, помимо затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и ещё одно. Предположим, что в некоторый момент времени tw Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса

Sa=a+a/k+a/k*k+...

и путь черепахи

Sch=a/k+a/k*k+...


Каждому отрезку пути a/k(в степени n), пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок a/k(в степени n)+1, пройденный черепахой. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку
a/k(в степени n), пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но кроме того, Ахиллес должен пробежать ещё один отрезок длины a, то есть он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть α, то получаем

1 + α = α

Историческое влияние

Это последнее затруднение «часть равна целому» явилось впоследствие предметом размышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этому парадоксу различные интерпретации. Чешский учёный Больцано в первой половине XIX в. установил, что любое бесконечное множество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своим собственным подмножеством. Теперь это свойство иногда применяется в качестве определения бесконечного множества.


Современные трактовки

Оригинальную трактовку парадокса "Ахиллес и черепаха" дает проф.Ю.Ротенфельд во 2-м томе своего трехтомника "Запечатанная книга"-"Философия, или тень мудрости".

"Следует напомнить, что дихотомическое деление, т.е. деление на два выбрано не случайно. Оно обусловлено существованием промежуточного между "избытком" и "недостатком", которое делит "единое" на две противоположные подсистемы. При этом, каждая из подсистем, объективно, своим промежуточным снова делится на противоположные подсистемы и так далее. Речь здесь идет об актуальном бесконечном процессе самоделения реальности. Поэтому вопреки мнению Аристотеля и следующих за ним поколений математиков, физиков и философов, Зенон был прав: Ахиллес никогда не догонит черепаху, если под героем троянской войны понимать максимальное значение "сходящегося" катета в любой данный момент времени, а под черепахой - значение промежуточного между максимумом и нулем."

Т.е. "Ахиллес" и "черепаха"-не буквальные персонажи, а метафоры. В действительности рассматривается геометрическая задача деления отрезка на 2 и смещения его середины. Т.е. возьмем отрезок в декартовой системе координат XOY с начальной точкой О(0;0) и конечной Ах(0;32)-длиной 32 см. по оси OX. Его середина-"черепаха"-точка Сч(0;16). Разделим отрезок на 2, не меняя начальной точки О. Тогда "Ахиллес"-точка Ах будет иметь координаты(0;16), а "черепаха"-середина отрезка-тоже смещается (0;8). Еще раз делим на 2-Ах(0;8), Сч(0;4) и т.д. Делить на 2 можно до бесконечности, но конец отрезка "ахиллес"-никогда не догонит "черепаху"-свою середину! (см.также диалектика)

[Lapp]

Господа.. Вы чего пудрите мозги бедному студенту?
Ессно, мины размера не имеют (иначе он был бы указан).
Ессно, прямая бесконечная (иначе вероятность была бы равна НУЛЮ).
Собственно, наш Вероятностный Гуру, мисс_граффити, уже сказала ответ:

Геометрическая интерпретация - это соотношение длин отрезка, на котором танк подорвется, к общему...

- но потом вдруг сказала что-то странное:

Так что общая длина полосы (или хотя бы куска, в который гарантированно попадет танк) нужна.

Тем, кто сомневается, что ответ есть:
3/15 = 1/5 = 0.20 = 20%
- я рекомендую представить себя в танке и устроить брейн-штурм . Кстати, поиграйте с относительными размерами танка и промежутка между минами (например, положите их равными или чуть больше/меньше)


Добавлено через 7 мин.
P.S.
И я совсем не понял, при чем тут бедный Ахиллес, в способности которого обогнать черепаху на протяжении нескольких веков сомневались лучшие умы (да и сейчас еще пытаются туманить мозги несведущим).
А еще - интересно, как был получен ответ 2/5. То есть, мне стало интересно, как именно он "напрашивается"

[volvo]

А еще - интересно, как был получен ответ 2/5

Очень просто был получен: берется расстояние между 2-ми минами = 15 м, и на протяжении этих 15 метров "опасными" для танка являются 6 (по три с каждой стороны)... 6/15 = 2/5

Rocket, признавайся, так думал?

[Lapp]

на протяжении этих 15 метров "опасными" для танка являются 6 (по три с каждой стороны)...

Хм, что-то в этом есть..
И тогда получается, что танк размером 8 метров - ну никак не протиснется в 15-метровый промежуток..

[Rocket]

Очень просто был получен: берется расстояние между 2-ми минами = 15 м, и на протяжении этих 15 метров "опасными" для танка являются 6 (по три с каждой стороны)... 6/15 = 2/5

Rocket, признавайся, так думал?

Ога, именно такие мысли меня посещали)... но всё-таки как-то не до конца понятно, или я окончательно запутался...ответ 1/5 получается?

[Чужак]

Господа.. Вы чего пудрите мозги бедному студенту?
Ессно, мины размера не имеют (иначе он был бы указан).
Ессно, прямая бесконечная (иначе вероятность была бы равна НУЛЮ).
Собственно, наш Вероятностный Гуру, мисс_граффити, уже сказала ответ:
- но потом вдруг сказала что-то странное:
Тем, кто сомневается, что ответ есть:
3/15 = 1/5 = 0.20 = 20%
- я рекомендую представить себя в танке и устроить брейн-штурм . Кстати, поиграйте с относительными размерами танка и промежутка между минами (например, положите их равными или чуть больше/меньше)
Добавлено через 7 мин.
P.S.
И я совсем не понял, при чем тут бедный Ахиллес, в способности которого обогнать черепаху на протяжении нескольких веков сомневались лучшие умы (да и сейчас еще пытаются туманить мозги несведущим).
А еще - интересно, как был получен ответ 2/5. То есть, мне стало интересно, как именно он "напрашивается"

При чем тут "Ахиллес"?

Т.е. "Ахиллес" и "черепаха"-не буквальные персонажи, а метафоры. В действительности рассматривается геометрическая задача деления отрезка на 2 и смещения его середины. Т.е. возьмем отрезок в декартовой системе координат XOY с начальной точкой О(0;0) и конечной Ах(0;32)-длиной 32 см. по оси OX. Его середина-"черепаха"-точка Сч(0;16). Разделим отрезок на 2, не меняя начальной точки О. Тогда "Ахиллес"-точка Ах будет иметь координаты(0;16), а "черепаха"-середина отрезка-тоже смещается (0;8). Еще раз делим на 2-Ах(0;8), Сч(0;4) и т.д. Делить на 2 можно до бесконечности, но конец отрезка "ахиллес"-никогда не догонит "черепаху"-свою середину! (см.также диалектика)

Разве это не то же самое, причем в геометрической интерпретации?
"Поиграемся" расстоянием между минами.
15/2=7,5
7,5/2=3,35
3,35/2=1,875
Дальше делить смысла нет, при растоянии между минами 1,875м
вероятность подорваться 3/1, 875=1,6 >100%
При 3,35 вероятность 3/3,35=0,89
При 7,5 вероятность 3/7,5=0,4
При 15 вероятность 3/15=0,2 т.е. 20%
Т.е. я описал развернуто 2 геометрических
метода, которыми это ответ получается.
Просто поразному, но в обеих случаях иттерационно, берется
соотношение (ширина танка/длина полосы).
То же самое, если расстяние брать пошагово 1,2,3,4,....15м,
но дихотомическим делением даже быстрее.
А ответ действительно 20%

[Lapp]

но всё-таки как-то не до конца понятно, или я окончательно запутался...ответ 1/5 получается?

Да. Вот, смотри.

1. Сначала давай сделаем небольшое изменение, которое избавит нас от периодичности картины. Вместо одного танка представим себе целую армию танков, идущих друг от друга на расстоянии 15 м (мерим от определенной точки на одном танке до такой же на другом - например, от левого края до левого края). В такой ситуации, если подрывается один танк, то подрываются все остальные, и наоборот. Верно? Значит, задача в этом условии эквивалентна изначальной. И, таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением одного промежутка длиной 15 м. Любого.

1. Теперь, для еще большей ясности, перевернем все с ног на гнолову . Пусть танки стоят на месте, а мины движутся на них стройной цепью.. Это тоже эвивалентное пребразование (в соответствии с принципом Галилея, если хочешь )

3. Теперь выберем тот самый промежуток длиной 15 м, о котором шла речь в п.1. Пусть это будет расстояние от левого края одного танка, до левого края следующего (неважно, в какую сторону). Строго говоря, это полуинтервал (один конец отрезка включен, другой - нет). В этот промежуток попадает только одна мина, которая случайным образом "падает" на него. Либо, скажем, так (толстая линия - танк, тонкая - не танк):

Код

          *
|===----------->

- танк не подорвался;
либо, например, так:

Код

  *
|===----------->

- танк подорвался;
Или, может, так:

Код

              *
|===----------->

- танк цел и невредим.
Легко видеть, что вероятность попадания мины в танк равна отношению размера танка к размеру промежутка.
Вот и все.

2 Чужак:

Разве это не то же самое, причем в геометрической интерпретации?
"Поиграемся" расстоянием между минами.
15/2=7,5
.....
вероятность подорваться 3/1, 875=1,6 >100%
.....

Нет, это совсем не то же самое, а также дихотомия ни в коей мере не присуща более геометрии, нежели алгебре, скажем.
Под "поиграться" я имел в виду то, что сказал в предыдущем посте (ответ на пост volvo): что при увеличении размеров танка (на подходе к размеру промежутка) формула должна давать верный ответ (единицу).

вероятность подорваться 3/1, 875=1,6 >100%
.....

Откуда ты взял тут деление? почему? Это, конечно верно. Но!.. Во-первых, это требует подтверждения (см. первую половину поста), а во-вторых, дальнейшие рассуждения изнишни..