Ряды..., Задачи на ряды Фурье и не только Опции

[striker]

Помогите пожалуйста с задачами.
Они, наверное, элементарные. Но так как я в рядах не соображаю, вот

1)Найти область сходимости ряда {на рис.}


2)Разложить функцию f(x)=cos^3(x) в ряд Фурье на [0;3,14...] по косинусам
----------3,14...- число "Пи" разумеется-----------------

3)Не вычисляя коэффициентов, определите к какому числу сходится при x=11 ряд
Фурье функции f(x)=x^2+3x, разложенной на отрезке [0;6]


Добавлено через 2 мин.
Я попытаюсь что-нибудь сделать.
Вы пишите пожалуйста.

[мисс_граффити]

1) Находишь радиус сходимости:
R=lim(n->inf) 1/корень n-ной степени из (3^n-1)=1/3
то есть интервал сходимости (-1/3;1/3)
осталось проверить сходимость на концах интервала (то есть подставить вместо х -1/3, а потом 1/3 и рассмотреть обычный числовой ряд)
вроде как даже необходимый признак сходимости не выполняется....

2) тут по формулам просто...

[striker]

Спасибо.
А по каким формулам?
У меня просто сейчас даже учебника нет.
А в лекциях что-то не нахожу...
Эта леция есть, а примеров нет.

[striker]

А насчёт 3-го?
Не знаешь или тоже просто по ф-лам?

[striker]

Может ссылку хоть какую дадите, где понятно описано как решать.
А то запарился искать. Спасайте...

ЗДЕСЬ немного исправил

3)Не вычисляя коэффициентов, определите к какому числу сходится при x=11 ряд
Фурье функции f(x)=x^2+3x, разложенной на отрезке [0;6] ПО СИНУСАМ


Сообщение отредактировано: striker - 21.01.2008 11:30

[striker]

Очень стыдно. Забыл как решать интегралы...
Я вот нашел формулы для 2 и 3 задач,подставил.
Посмотрите правильно ли, помогите доделать, пожалуйста.
Я так понимаю 3-ая задача - самая сложная. Я так и не понял как её решить.

мисс_граффити, а в 1 задании можно как-нибудь найти предел изначального выражения
под суммой? Ведь как я знаю необходимое условие сходимости, когда предел =0.

[мисс_граффити]

предел найти - можно... почему нельзя?

третья - там какое-то свойство ряда Фурье.... когда к чему сходится. я его просто не помню

[striker]

1)Так зачем искать радиус сходимости?
Предел будет равен 0 или нет? Если равен=> нет области сходимости?

2)Там, что есть хоть правильно?

3) Может кто знает как делать?

Пожалуйста, если сможете напишите до завтра до 9 утра,
если нет, то хотя бы вообще напишите.

[мисс_граффити]

1) радиус сходимости надо искать, чтобы узнать, при каких х ряд сходится. он при одних будет сходиться, а при других нет...

[striker]

Тогда я не понимаю что за необходимый признак не выполняется.
Как ты его проверяешь?
Получается что ряд не сходится?

Объясни пожалуйста.

[мисс_граффити]

при х=1/3... то есть подставь вместо х значение 1/3
после этого именно указанный тобой признак и не выполняется

[striker]

В ответе (-1/3;1/3)
Если признак не выполняется при -1/3 и при 1/3 значит они не включаются в ответ?
Или вообще ряд не сходится.
Почему тогда есть область сходимости?

[striker]

А, да когда подставляем 1/3 получается 1?
Тогда необходимы ещё исследования?

Я нашел пример, где предел находится как отнош An+1 к An,
то есть (3^(n+1)-1)x^(n+1) к исходному.
Чем отличается?
Вообще уже в голове каша. Помоги решить. В итоге то что сходится аль нет?

[Sensitive]

Правильно, что в ответе (-1/3;1/3).
При х=1/3 ряд расходится. Значит, 1/3 не включаем в промежуток сходимости ряда.
При х=-1/3 ряд тоже расходится. Значит -1/3 тоже не включаем.
(Чтобы узнать, что эти ряды расходятся нужно просто проверить их на сходимость. Использовав достаточное условие сходимости ряда. Лимит от n-нного члена не должен быть равным 0.)

[мисс_граффити]

Лимит от n-нного члена не должен быть равным 0

как это не должен?
это необходимое условие сходимости.

striker, смотри.
ряды бывают числовые и функциональные.
числовые - это когда, например, сумма по n от 0 до бесконечности 1/n. ну или может быть какая угодно формула - главное, что там ТОЛЬКО переменная суммирования (n)
Если кроме n появляется х - это функциональный ряд.
При одних х он сходится, при других - расходится. "Найти интервал сходимости" - значит, найти такие х, при которых он сходится.
Для этого мы:
1) находим радиус сходимости. если у нас ряд вида (какая-нибудь фигня от n)*x^n, то он будет сходиться на интервале (-R,R) точно.
2) проверяем, сходится ли ряд, если вместо х подставить R... и -R...
то есть интервал сходимости может иметь вид
(-R,R)
[-R,R)
[-R,R]

[striker]

Спасибо, сейчас переварю.

[Sensitive]

как это не должен?
это необходимое условие сходимости.

Я имела ввиду, что если это условие не выполняется, то ряд расходится.

[striker]

Сдал - мне не засчитали. Каким-то другим надо было способом считать
Не понимаю почему этим нельзя...

[мисс_граффити]

ты бы показал, КАКИМ способом ты в итоге посчитал.
а ПОЧЕМУ нельзя - надо спрашивать у препода. может, вы не проходили. может, в задании оговорено было. может, он сам говорил, каким хотел бы, чтобы было решено. может, в лекциях или практике был аналогичный пример. может, ты не смог объяснить, что и как считал...