уравнения из ЕГЭ Опции

[zZz]

готовлюсь к ЕГЭ... парочку номеров так и не смог пока что решить,...

abs(sin(x)-cos(x))=cos(2x)

3((x+3)^0.5-1)((2-x)^0.5+1)=2x+4

второе вообще подбором решается, но как-то не совсем такой метод доказывает единсвенность решения; если рисовать графики, то все доказывается, но это долго, может существует рациональный способ?

[Clerick]

Насчет первого, можно графиком!
Преобразовываешь то, что под модулем по формуле сложения гармонических колебаний(если я правильно вспомнил) и получаешь sqrt(2)*sin((pi/4)-x). Строишь графики того и другого, находишь пересечения и ... ну сам, наверное, знаешь!

[red_alex]

да графиком можно решить, только вот там проблемма, по-моему на сегменте [0;pi\4] (остальные сегменты, получаются прибавление соответсвующего числа pi), на которых на картинке будет видно, что графики совпадают и кол-во точек пересечения бесконечно. Тогда там надо проверять еще одно условие: смотреть значения левой и правой части в произвольной точке этого сегмента и выяснения какой из графиков лежит выше)
а ответом кажется будет х=0 и х=pi\4 ( и + сдвиги каждого решения на соответсвующее кол-во пи)

[zZz]

Насчет первого, можно графиком!

согласен... я так и делал, получил точки {pi*n;pi/4+pi*n} но не нравится мне этот способ, сам понимаешь, бланк для ответа на часть C не бесконечен, интерестно, организаторы ЕГЭ сами пытались уместить все решения ко ВСЕМ!!! 5 задачам на одном листике чуть больше А4, лично я, когда просто так решаю, без ограничения на место, расхожусь, порой, на весь лист с двух сторон а то и больше... из-за такой фигни я на пробнике всего лишь 90 баллов набрал только из-за того что С4 просто не поместилась, согласитесь на настоящем ЕГЭ будет обиднее... так к чему все это... ах да, вообщем ищу желательно алгебраический способ решения, рациональный и чтоб места не слишком много занимал... у кого-нибудь есть предложения?

Сообщение отредактировано: zZz - 28.05.2006 20:57

[Clerick]

На сколько он должен быть рациональным и как много места он должен занимать?

Можно же раскрыть знак модуля, cos(2x) через sin((pi/2)-2x). Перенести в одну часть, по формуле разности синусов, получиль произведение, оно равно нулю=>каждое равно нулю и т.д.

Сообщение отредактировано: Clerick - 28.05.2006 21:29

[red_alex]

ну раскроешь ты знак модуля, но у тебя не получится разность синусов, ибо есть еще корень из 2, вот он и мешает все сделать

[zZz]

Может и правда такие задачи не имеют решения кроме как графического(все больше убеждаюсь в этом)... я почти в отчаянии, зачем их вообще засовывают в ЕГЭ? Это ужасно, нельзя так издеваться над школьниками!...
простите меня... наболело...

Сообщение отредактировано: zZz - 28.05.2006 22:14

[red_alex]

сорри, что не совсем по теме
а что на ЕГЭ не дают дополнительную бумагу?
И вообще ЕГЭ это бред!

[zZz]

а что на ЕГЭ не дают дополнительную бумагу?

на черновики сколько угодно... но под ответ один всего лишь листик, из которого даже толковый самолетик не получится...а вообще, ИМХО, ЕГЭ - для тех кто неплохо соображает(я себя имею в виду ) большая халява, ведь куда проще написать ЕГЭ на 100 чем внутренний экзамен, например, МФТИ даже на 10 сдать(из 12)...

самое главное чтоб с вариантом повезло и такая чушь, не имеющая на мой взгляд(не всегда верный) разумного решения, не попалась...

Сообщение отредактировано: zZz - 28.05.2006 22:41

[red_alex]

а я от него не вижу толка. И вообще вся эта система тестов, она не показывает реальную спосбость человека мыслить! Я вот не писал никакого ЕГЭ(хоть и была возможность), и поступил с олимпиады в вуз и успокоился со школьными экзаменами.

а задачи эти видимо реально на способность человека решать такие уравнения при помоши исследования графика)

[zZz]

Гм,.. а меня кто-нибудь спрашивал:"Не хочешь ли написать ЕГЭ?" ---- не припомню такого...
У нас в Самарской области ЕГЭ - обязательный экзамен, без него аттестат не выдадут - без аттестата в ВУЗ не возьмут - другой вопрос чего стоит это ЕГЭ, я считаю что для среднего вуза он годится в полной мере, но для вузов типа МФТИ - уже нет, человек написавший, как я уже говорил 10 ихних баллов - достойный кандидат, который сможет у учиться, тот же кто поступает только по ЕГЭ - ну нельзя понять по этому сертификату на что способен абитур- уровень вступов таких вузов близко не стоит с ЕГЭ(в смысле намного выше)... - вообщем каждый должен реально оценивать свои возможности и исходя из них что-то решать

Сообщение отредактировано: zZz - 28.05.2006 22:59

[red_alex]

ну да по егэ трудно судить о возможности человека учиться в МФТИ. Аналогично могу сказать и про МГУ. И я очень рад, что в МГУ нет ЕГЭ. В МФТИ кажется тоже нет.

[zZz]

Есть однако...но чаще засчитывают только один экзамен, чтобы попасть наверняка, боюсь что так и мне придется поступить, а один оставляют внутренний, слышал такой прикол, в том году кекс пришел, довольный с сертификатами ЕГЭ кадый примерно по 100, радостный, уверенный что возьмут, а ему прямо в приемной комиссии вручили вступительный билет и сказаали:"решай", - не знаю может и неправда, но очень похоже на истину, а вообще классный прикол))), хоть и со слегка черным оттенком...
Шкала перевода баллов ЕГЭ -> МФТИ

Сообщение отредактировано: zZz - 28.05.2006 23:12

[Clerick]

ну раскроешь ты знак модуля, но у тебя не получится разность синусов, ибо есть еще корень из 2, вот он и мешает все сделать

Да, вот про него я как-то и забыл. Извиняюсь.

[zZz]

как же я раньше этого не заметил(относительно первого):
cos2x=cos^2(x)-sin^2(x)=(cos(x)-sin(x))(cos(x)+sin(x)) - раскрываем модуль и решаем уже простое уравнение

второе же вообще никаким преобразованиям не поддается

[kuzya]

готовлюсь к ЕГЭ... парочку номеров так и не смог пока что решить,...

второе вообще подбором решается, но как-то не совсем такой метод доказывает единсвенность решения; если рисовать графики, то все доказывается, но это долго, может существует рациональный способ?

Эх вы, немного над задачей подумать не можете, а ещё..., да ладно, обидятся...
-------------№1:----------------
abs(sin(x)-cos(x))=cos(2x)

как же я раньше этого не заметил

-и я о том же)))
abs(cos(x)-sin(x))=cos(2x)
* раскрываем по условиям модуля:
2x принадлежит [-pi/2+2pi*n;pi/2+2pi*n], т.е.
x принадлежит промежутку [-pi/4 + pi*n; pi/4+pi*n].
далее:
cos(x)-sin(x)=sqr(cos(x))-sqr(sin(x)) и далее по формуле разности квадратов разлаживаем правую часть:
cos(x)-sin(x)=(cos(x)-sin(x))(cos(x)+sin(x)) сокращаем с условием
** что cos(x)-sin(x) может равнятся нулю, т.е.
cos(x)=sin(x)
tg(x)=1
x=pi/4+pi*n
далее:
cos(x)+sin(x)=1 возводим все в квадрат и представляем 1 как основное триг. тож-во
и наконец мы можем спокойно дорешать уравнение 2*cos(x)*sin(x)=0, не забывая условие модуля(*) и потерянный корень(**)
Надеюсь, дальше не будет сложностей



----------№2:-------------

второе вообще подбором решается, но как-то не совсем такой метод доказывает единсвенность решения

почему же это не совем такой способ, если знаешь как доказать единственность-флаг тебе в руки , а я решал так:
3(sqrt(x+3)-1)(sqrt(2-x)+1)=2x+4
Похоже, что вообще аналитически это уравнение нельзя решить, по крайней мере я не смог решить ни одним известным мне анал.способом это иррациональное ур-е, не знаю, мож в следующем классе ума наберусь
Попробовал заменой sqrt(2-x)y, т.е. x=2-y^2, но это потом...
1) перемножаем всю левую часть, нафиг
2) вводим замену, выделяем общие множители.. в итоге у нас получается:
3*sqrt(5-y^2)*(y+1)=11-2*sqr(y)
Потом представляем как:
sqrt(5-y^2)=(-2*y^2+3y+11)/(3y+3)
3) Решаем графическим способом:...

Сообщение отредактировано: kuzya - 1.06.2006 3:56