Элементы треугольника (помогите решить), Даны две медианы, надо найти третью... Опции Опции

[Crowen]

Помогите, пожалуйста, решить задачи:

1. Две медианы треугольника равны 3 и 4.
В каких пределах может изменяться третья медиана?
При каких её значениях треугольник будет прямоугольным?

2. Две высоты треугольника равны 2 и 3.
В каких пределах может изменяться третья высота треугольника?
При каких её значениях треугольник будет прямоугольным?

[red_alex]

ну вот построим маленький теругольник, каждая сторона, которого рвна 1\3 от соответсвующей медианы.
Тогда получаем, что у него известны 2 стороны: 4\3 и 1
Пусть х тертья сторона: тогда х<4\3+1=7\3
С другой стороны 4\3<x+1 => x>1\3
Получаем, что 1\3<x<7\3

Значит третья медиана лежит в пределеах : (1, 7)

[Lapp]

ну вот построим маленький теругольник, каждая сторона, которого рвна 1\3 от соответсвующей медианы.

Хочу добавить, что red_alex использует тот факт, что из медиан с помощью только параллельного переноса можно постороить треугольник (это легко доказывается). Я только не понял, почему он он сначала делил на три, а потом умножал, хотя можно было сразу сделать все для полного размера..

[Lapp]

2. Две высоты треугольника равны 2 и 3.
В каких пределах может изменяться третья высота треугольника?
При каких её значениях треугольник будет прямоугольным?

Допустим, h1=2 опущена на a, h2=3 опущена на b.
Тогда a*h1 = b*h2 , то есть 2*a = 3*b .
Отсюда a = 1.5*b .
Далее,
c < a+b , то есть c < 2.5*b
и
c > a-b , то есть c > 0.5*b .
Теперь
с*h3 = b*h2 = 3*b , или h3 = 3*b/c .
Подставляем с из неравенств выше и учитываем, что оно в знаменателе:
h3 > 3*b / 2.5*b = 3/2.5 = 6/5 = 1.2
h3 < 3*b / 0.5*b = 3/0.5 = 6 .
Это ответ на вопрос о пределах.
А прямоугольным треугольник будет тогда, когда
h1*h2 = Scrt(h1^2+h2^2)*h3
- только нужно перебрать все комбинации..