Счетность действительных множеств, я запутался Опции

[CatWarrior]

Вопрос прост:
Множество всех действительных чисел - счетно или нет?

Я учусь на 2 курсе. Нам учитель прочитал доказательство теоремы в которой говорится что все действительные числа счетны.
(У меня правда подозрения на то что может это были только алгебраические числа, хотя в заголовке строго говорится о действительных)

Но до этого у него было доказательство теоремы о том что все действительные числа на отрезке [0,1] несчетны (да и на любом другом).

т.е. Вроде как очевидно получается что Множество всех действительных чисел несчетно. Но в нете точного ответа не найдешь одни люди говорят одно другие другое.

[Lapp]

Множество всех действительных чисел - счетно или нет?
...
Но в нете точного ответа не найдешь одни люди говорят одно другие другое.

Вот тебе абсолютно точный ответ: множество действительных чисел НЕ счетно.
Если хочешь пояснения - спрашивай, что именно.

[CatWarrior]

ок.

Действительные числа состоят из алгебраических и трансцендентных?

алгебраические
- это те которые являются корнями некоторого уравнения (a0+a1z+a2z^2.. anz^n) и т.д. - их счетно?

трансцендентные
- трансцендентных несчетно? (вот что их несчетно, это доказывается?)

[Lapp]

Не знаю, хотел ли твой учитель похохмить или спровоцировать вас, или может ты его неправильно понял.
Доказательство несчетности действительных чисел на отрезке мелькало тут недавно, можно найти или повторить. Этот вопрос такой, в котором нельзя оставлять неясности. Спрашивай, мы тут к твоим услугам

Действительные числа состоят из алгебраических и трансцендентных?

да. Но я предпочитаю другие названия: рациональные и иррациональные.

алгебраические
- это те которые являются корнями некоторого уравнения (a0+a1z+a2z^2.. anz^n) и т.д. - их счетно?

Да, их счетно. Это даже не нужно доказывать. Каждое уравнение задается КОНЕЧНЫМ набором коэффициентов. Множество таких наборов счетно. Значит, и их решений.

трансцендентные
- трансцендентных несчетно? (вот что их несчетно, это доказывается?)

Доказывается через диагональ Кантора. Если хочешь, могу подробнее. Или дам ссылку на то, что уже было тут.

[CatWarrior]

Ну да на интервале нам учитель давал несколько доказательств теоремы Канта (2 штуки). Из всех ясно следует что Не один интервал не является счетным множеством. Во втором доказательстве (Диагональная процедура) как раз легко доказывается что множество действительных чисел заключающееся между 0 и 1 - несчетно.

Просто возникли разногласия а перевеса ни в одну сторону не было. )

+ Диагональная процедура кантора это не диагональ Кантора? т.к. там вроде только о действительных числах говорится.
+ ссылку былобы хорошо

Сообщение отредактировано: CatWarrior - 6.01.2006 11:58

[Lapp]

Не вижу - где тут разногласия?
Только Кантор, а не Кант - ок? Кант совсем другими делами занимался, философскими глупостями..
Итак - где разногласия? Надеюсь, ты не собираешься их решать большинством голосов..
Кстати, вот ссылка на тот тред:
http://forum.pascalnet.ru/index.php?showtopic=7336

Да, в диагонали рассматриваются все действительные числа. Но после вычета рациональных (их счетное количество) все равно остается континуум.

[CatWarrior]

ок. спасибо.

Не вижу - где тут разногласия?

Ну раногласия были ранее: не счетно, счетно . Сейчас нет.

Сообщение отредактировано: CatWarrior - 6.01.2006 12:10

[Lapp]

странно, мне казалось, что я отвечал (быстрый ответ).. а на самом деле добавилось к предыдущему моему мессаджу..
Это так и должно быть? раньше было иначе! или у меня глюки?..

[CatWarrior]

Да, в диагонали рассматриваются все действительные числа. Но после вычета рациональных (их счетное количество) все равно остается континуум.

Это из того что мощность подмножества бесконечного множества равна мощности самого бесконечного множества. Т.е. из того что мощность бесконечного множества не зависит от мощности его счетного подмножества.

странно, мне казалось, что я отвечал (быстрый ответ).. а на самом деле добавилось к предыдущему моему мессаджу..
Это так и должно быть? раньше было иначе! или у меня глюки?..

Оно неверянка обладает возможностью автоматом объеденять посты одного и тогоже автора идущие подряд. И введенные в небольшой промежуток времени.

Сообщение отредактировано: CatWarrior - 6.01.2006 12:12

[Lapp]

Это из того что мощность подмножества бесконечного множества равна мощности бесконечного множества. Т.е. из того что мощность бесконечного множества не зависит от мощности его счетного подмножества.

Довольно коряво... Просто сумма счетного и континуального множеств континуально. Сумма двух счетных множеств - счетна. Раз D является суммой R и I (сокращения мои ), то из счетности R следует континуальность I.

[CatWarrior]

Раз D является суммой R и I (сокращения мои ), то из счетности R следует континуальность I.

Если D-континуальна?
ну а ведь может I и R быть одновременно континуальны

Главно ведь что мощность бесконечного множества не зависит от мощности его счетного подмножества.

что вы и сказали

Просто сумма счетного и континуального множеств континуально

Сообщение отредактировано: CatWarrior - 6.01.2006 12:27

[Lapp]

Ты не понял. Я ввел конкретные обозначения для тех множеств, с которыми мы имеем сейчас дело.
D - действительные
R - рациональные (алгебраические)
I - иррациональные (трансцендентные)
Далее, мы знаем, что D - континуально, а R - счетно. В соответствии с тем, что я писал выше (про суммы множеств) получается, что I - континуально.

Всегда так: хочешь сократить, а получается в результате длиннее..

[CatWarrior]

Да все понятно.
Ну я почти так и думал

[Altair]

R - счетно

Множество R чисел счетно ? У нас на лекциях по матлогике доказывали обратное!

[CatWarrior]

R-рациональное а оно счетно

[Altair]

А понятно.. то есть за букву R все берут что хотят

[Lapp]

А понятно.. то есть за букву R все берут что хотят

А почему бы и нет? я же написал спецательно в скобочках: обозначения МОИ! (см. выше)

[Lapp]

Послушай, CatWarrior...
Я тебя обманул. Извини, не хотел. Просто крыша поехала.
Алгебраические числа - это не то, что рациональные, конечно. И я сейчас не могу сказать, счетно ли их множество. То мое рассуждение не проходит, если коеффициенты многочленов нецелые .
Но главное - что множество действительных чисел несчетно - верно.
Извини еще раз, зарапортовался. Сейчас - увы!- нет времени все просмотреть и переделать - может, завтра..
Но, повторяю - главное, что множество действительных чисел несчетно.
до встречи..

[Lapp]

Как обещал - исправляю свои ошибки. Еще раз прощу извинения - я отвечал в перерывах, пока копировался системный диск (в несколько этапов, ввиду зоопарка стандартов), который полетел на сервере, и видимо моя башка не до конца переключалась.

Итак,
1. Множество действительных чисел несчетно, док-вом является диагональ Кантора. Его мощность зовется мощностью континуума (от слова "непрерывный"), или "c".

2. Рациональные числа - это те, которые представимы в виде p/q (от слова "рацио", отношение). Я их зря сюда вообще тогда приплел. В десятичном виде они представляют собой конечные или периодические дроби (что одно и то же, если приписать 0 в периоде. Их множество счетно, то есть имеет мощность алеф-ноль.

3. Алгебраические числа - это числа, являющиеся корнями многочлена с целыми коэффициентами (можно, впрочем, сказать и с рациональными, результат будет тот же, как легко видеть). То, что они выходят за рамки рациональных, легко видеть, доказав, что квадратный корень из 2 не может быть представлен в виде дроби. Конечно, их множество счетно (то рассуждение, которое я привел вчера, остается в силе).

4. Существование трансцендентных чисел следует из того, что множество алгебраических чисел счетно, а действительных - несчетно. Отсюда же следует, что их множество континуально. Пример - число "пи" или "е".

Вот, по сути и все. Досадную чушь я вчера наплел.. Не особо много, но математика не терпит даже малейших ошибок .
И последнее замечание. Мы с тобой все это говорили в день 88-летия со дня смерти Георга Кантора, 6 января 1918. Он родился в 1845 г в Петербурге, но в России не учился и не работал. Он был, наверное, одним из самых великих математиков. Мир праху его.

Сообщение отредактировано: lapp - 7.01.2006 7:07

[CatWarrior]

Аминь.

Почемуто я на это вчера внимания не обратил. Но про алгебраические я собственно так и думал так что ничего престраивать (в мозгу) не пришлось.