Нахождение пределов в точке и на бесконечности, неопределенность Опции

[18192123]

1. lim(x -> +беск ) ((2x)^1/2)/(3x + (3x + (3x)^1/2)^1/2 )^1/2.

2. lim(x -> беск ) (x)^3/2 *( ( x^3 + 2 )^1/2 - (x^3 - 2 )^1/2).

На 1-й замечательный предел:

3. lim(x -> pi/4 ) (2^1/2 - 2cosx)/(pi - 4x).

4. lim( x-> pi ) ( 1 + cos 5x )/(1 - cos 4x ).

На второй замечательный предел:

5. lim ( x -> 0 ) (cosx + sinx)^1/x.

6. lim ( x -> 0 ) (sinx/x)^( sinx/x-sinx).

Пожалуйста, натолкните на мысль, как можно в каждом примере избавиться от той или иной неопределённости, а дальше я сама!

[мисс_граффити]

1) записать как корень из дроби, а не частное корней.
потом числитель и знаменатель подкоренного разделить на х
2) попробуй умножить и разделить на сопряженное ( ( x^3 + 2 )^1/2 + (x^3 - 2 )^1/2)
3) делай замену k=x-pi/4
потом раскрывай косинус суммы
5) cos(x)->1
sin(x)->x (первый замечательный)
вот тебе классический второй замечательный:
(1+х)^1/x

[18192123]

мисс_граффити , спасибо большое! Всё получилось!

у меня появилось ещё несколько вопросов!

1. lim ( x -> беск ) sinx/(x)^2

2. lim ( x -> беск ) ((|x^2 - 3|)^1/2) / x - как быть с модулем?

[Lapp]

1. lim ( x -> беск ) sinx/(x)^2

Ноль, конечно. Числитель ограничен, а знаменатель стремится к бесконечности. Аппроксимируем снверху 1/x^2 , а снизу - -1/x^2 . У обеих предел 0.

2. lim ( x -> беск ) ((|x^2 - 3|)^1/2) / x - как быть с модулем?

Тут-то какие сложности с модулем?.. При достаточно больших х (т.е. x>=Sqrt(3) ) его можно просто убрать..

[18192123]

Ноль, конечно. Числитель ограничен, а знаменатель стремится к бесконечности. Аппроксимируем снверху 1/x^2 , а снизу - -1/x^2 . У обеих предел 0.

Вот с этим вообще не поняла...

[мисс_граффити]

ну смотри: sin(x) изменяется от -1 до 1, так?
значит, sin(бесконечности) тоже лежит в интервале -1..1
тогда наш предел находится где-то между пределами 1/x^2 и -1/x^2 при х->беск.

Сообщение отредактировано: мисс_граффити - 19.01.2007 21:44

[18192123]

ну смотри: sin(x) изменяется от -1 до 1, так?
значит, sin(бесконечности) тоже лежит в интервале -1..1
тогда наш предел находится где-то между пределами 1/x^2 и -1/x^2 при х->беск.

теперь всё ясно!
мисс_граффити, Lapp, спасибо!

Добавлено:
ох уж эти неопределенности!

Никак не могу найти пределы:

1. lim(x->0)x*e^(1/x)

2. lim(x-> беск. )x*(e^1/x - 1)

Помогите, пожалуйста!

[мисс_граффити]

Правило Лопиталя можно использовать?

[18192123]

Правило Лопиталя можно использовать?

да, можно

[мисс_граффити]

ну и вот...
00 - бесконечность
lim(x->0)x*e^(1/x) = lim(z->00)(1/z)*e^z=lim(z->00)(e^z)/z=lim(z->00)(e^z)=00
аналогично второй. получится 1..

[18192123]

ну и вот...
00 - бесконечность
lim(x->0)x*e^(1/x) = lim(z->00)(1/z)*e^z=lim(z->00)(e^z)/z=lim(z->00)(e^z)=00
аналогично второй. получится 1..

а как ты избавилась от z в знаменателе? (я так поняла, что находя производную, да?), но у меня z никуда не уходит.....

[мисс_граффити]

по правилу Лопиталя избавилась...
как не уходит? (z)'=1

[18192123]

по правилу Лопиталя избавилась...
как не уходит? (z)'=1

так мы же делим на z.....

[мисс_граффити]

ты правило Лопиталя вообще знаешь?

[Злое Уравнение Дарбу]

В правиле лопиталя берется производная от числителя И производная от знаменателя, а не от всей дроби.
Теперь понятно?