Задача по матанализу Опции

[Clon]

Вот тут преподы подкинули головоломку. Уже неделю парюсь

Пусть функция f: G -> R, в области G С R2 непрерывна по переменной х при
фиксированном y и удовлетворяет условию Липшица по переменной у, т.е. существует
постоянная L такая, что | f(x:y1) - f{x,y2) |<= L | у1 - уг |, \/(x,y1),(x,y2) є G.
Доказать, что f непрерывна в G.

[Lapp]

Clon, ничего особо сложного тут нет, действуй прямо по определениям. Скажем, берем определение непрерывности на языке "эпсилон-дельта". Возьмем произвольное e>0 и попробуем подобрать соответствующее d. Сначала, из непрерывности по х, имеем, что для этого e>0 можно найти такую окрестность по х, внутри которой выполняется неравенство |f(x,y)-f(x1,y)|<e/2. Таким образом мы резервируем себе половину e на изменение по y. Соответствующую окрестность по y подбери из условия Липшица как (e/2)/L. В сумме двух неравенств получим, что изменение функции составит не больше чем e/2+e/2=e

[Clon]

Спасибо, понял, решил.